Материал: Конспект лекцій 2 (Перетворення цифрових зображень)

2.1.2. Однорідні координати

Для подолання відмічених проблем опису геометричних об’єктів, а також для вирішення задач перетворення 3D-простору і 2D-площини в одноманітному матричному виді вводиться формалізм так званих однорідних координат. Однорідними координатами служать

w 1

Очевидною властивістю однорідних координат є еквівалентність пари однорідних векторів, якщо один в інший переводяться посередництвом скалярного множника

Оскільки скалярний множник довільний, то однорідні координати в дійсності представляють лінію, що проходить через початок координат в евклідовому просторі. Прямі лінії на площині також можна представити 3-векторами в однорідних координатах:

, де c - довільний скалярний множник.

Видно, що як і для двох точок, однорідні координати двох ліній є еквівалентними, якщо відрізняються лиш спільним скалярним множником. Однорідні точки , що лежать

на однорідній лінії визначаються рівнянням або . Таким чином, точки і лінії мають тут одинакові представлення. Відмітимо, що прямим,

які проходять через початок в даному представленні відповідає значення с=0. Точка перетину двох паралельних прямих, що лежить в нескінченості, має множник w=0.

2.1.3. Евклідові перетворення

Сцену іноді можна розглядати як тверде тіло, коли взаємні деформації елементів сцени в тривимірному просторі не допускаються. Аналогічно і площину іноді можна вважати жорсткою (такою, що не деформується). Жорстким рухам площини відповідає евклідова підгрупа геометричних перетворень, яка містить лиш перетворення зсуву і повороту (рис.4), математично записуваних у векторно-матричній формі як

(3)

.

6

Рис.4. Дія евклідового перетворення на п’ять точок площини (зсув, поворот).

З допомогою трійок однорідних координат і матриць третього порядку можна описати будь-яке лінійне перетворення площини. Дійсно, введенням додаткової одиничної компоненти рівняння (3) можна переписати наступним чином:

(4)

відмітимо далі, що два послідовно проведені жерсткі рухи площини можуть бути представлені єдиним рухом:

переводить точки площини в початкове положення. Відміченою парою властивостей і характеризується група, а клас матриць із структурою виду (3) відомий як евклідова група перетворень. Матриці обертання R самі по собі формують так звану ортогональну підгрупу з важливою властивістю Rt R I , де І- одинична матриця.

2.1.4. Афінні перетворення

Якщо матрицю обертання в (2) замінити загальною невиродженою матрицею А , то отримаємо перетворення

x ax by c

або, в матричному виді

7

Рис.5. а) дія афінного перетворення на п’ять точок (зсув, поворот, зміна масштабів вздовж осей, косокутність із збереженням паралельних ліній);

б) вхідне зображення (ліворуч) і його афінно-перетворена копія (праворуч), отримана за рівнянням:

В однорідних координатах: (7)

Тут також передбачається, що визначник матриці перетворення не дорівнює нулю:

Рівняння (6),(7) визначають загальну форму запису афінного перетворення (див. рис.5). До будь-якого афінного перетворення існує зворотнє, яке також є афінним. Добуток прямого і зворотнього перетворень дає одиничне перетворення, яке залишає все на місці. Афінне перетворення є самим загальним взаємно однозначним відображенням площини на площину, при якому зберігаються прямі лінії. Зберігаються також відношення довжин відрізків, що лежать на одній прямій (або на паралельних прямих), і відношення площ фігур. Паралельні прямі переходять в паралельні.

В афінних перетвореннях площини особливу роль відіграють декілька важливих часткових випадків, які мають простий і наглядний геометричний смисл.

1.Розтягування (зтискання) вздовж координатних осей, задане у виді:

Розтягуванню вздовж відповідної осі відповідає значення масштабного множника, більшого за одиницю. В однорідних координатах матриця розтягу (стиску) має вид

8

2.Поворот довкола початкової точки на кут , описується формулою:

Матриця обертання (для однорідних координат)

3.Перенос, який задається простими співвідношеннями:

Матриця переносу має вид

4.Відображення (відносно якоїсь з осей, наприклад осі абсцис) задається з допомогою формули:

Матриця відображення, відповідно

З аналітичної геометрії добре відомо, що будь-яке афінне перетворення (7) завжди можна представити у виді композиції послідовно виконуваних простіших перетворень означеного виду. Афінні перетворення утворюють афінну групу. Зокрема, підгрупою афінної групи перетворень є група подібності (містить перетворення зсуву, повороту і зміни масштабу):

В той же час афінна група є підгрупою загальної лінійної (проективної) групи, а евклідова група є частковим випадком афінної групи перетворень. Тому всі відмічені перетворення формують ієрархію згідно їх взаємної підлеглості

Евклідове перетвореня афінне проективне перетворення

Знаючи параметри афінного перетворення, можна розрахувати безпосередньо і параметри оберненого перетворення

9

розв’язавши систему рівнянь (5.5) відносно (x, y) :

Якщо параметри такі, що (1 a)(1 e) bd то дане афінне перетворення має нерухому точку (X 0 ,Y0 ) :

Зауважимо, що при x Ax, c 0 початок координат і буде нерухомою точкою.

2.1.5. Проективні перетворення

Як вже вище говорилось, загальними лінійними перетвореннями T (в представленні однорідними координатами)

(8)

формується група проективних перетворень (рис.6). При представленні в звичайних координатах, очевидно співвідношення (8) буде мати нелінійний вид, пов’язаний з перенормуванням

10