Материал: Конспект лекцій 2 (Перетворення цифрових зображень)

де N – кількість коефіцієнтів трансформаційної матриці; t – порядок поліному;

Чим вищим є порядок поліномів трансформування, тим більш складні спотворення можуть бути виправлені. Однак з підвищенням порядку поліномів буде потрібно більшу кількість опорних точок. Наприклад, при трансформуванні першого порядку (лінійному), поліноми для X та Y описують рівняння площини. А площина однозначно визначається трьома опорними точками. Аналогічно, при трансформуванні другого порядку, поліноми для X і Y описують рівняння параболоїда, який однозначно описують шість точок. Проаналізуємо поліноми третього порядку.

Тут x та y – відомі координати поточної опорної точки. А коефіцієнти трансформування a0 a9 , b0 b9 (всього 20 коефіцієнтів) - невідомі величини. Для

вирішення такої системи потрібні не менше 20 рівнянь (по два на кожну опорну точку). Отже, при трансформуванні поліномами третього порядку мінімальна кількість опорних точок - 10.

В загальному випадку мінімальна кількість опорних точок, необхідна для виконання трансформування визначається за формулою:

де Nmin – мінімальна кількість опорних точок; t – порядок полінома;

Розглянемо одномірний випадок – зміна координати X на вхідному і трансформованому знімках. По осях графіка відкладаємо значення Xc (вхідні координати X) і Xr (опорні координати X).

На правому графіку показана наступна ситуація. Потрібне трансформування неможливо виконати з допомогою поліномів першого порядку, бо він задає рівняння прямої лінії і опорна точка номер 2 (вісь Xc) не буде трансформована правильно. Необхідне застосування поліномів більш високого порядку, що й відображено на рисунку нижче.

16

Тепер поліном другого порядку справляється із ситуацією до тих пір, поки не буде ускладнена картина додаванням четвертої точки. Це ускладнення приводить до необхідності використання піліномів третього порядку, що відображено на рисунках нижче.

Проте, при трансформуванні може статись так, що на трансформованому зображенні зміниться порядок слідування пікселів. Видно, що порядок точок 3 і 4 на трансформованому зображенні порушений. Такі явища на зображеннях називаються

артефактами.

Точність трансформування описує средня квадратична помилка (СКП, RMSE). Це евклідова відстань між заданим місцеположенням опорної точки на вхідному знімку і дійсним місцеположенням тієї ж точки після геометричного трансформування. СКП для даної точки розраховується за формулою:

СКП виражається в одиницях вхідної координатної системи. Наприклад, якщо опорний знімок записано в файловій системі координат, то СКП виражатиметься в пікселях. Наприклад, СКП = 2 означає, що точка на референц-зображенні відрізняється на 2 пікселя від точки на трансформованому знімку.

СКП по певному напрямку (по осі X або Y) називається нев’язкою (residual). Наприклад нев’язка по X даної точки – це відстань по осі X між вхідною і трансформованою X-координатами точки. СКП кожної точки виражається через нев’язки:

Ri XRi2 YRi2 (19)

де Ri – СКП точки з індексом i; XRi , YR i – X та Y – нев’язки точки з індексом i;

Загальну СКП для всіх точок виражають через нев’язки окремих точок:

17