Материал: Курсовой проект по дисциплине конструкция и прочность авиационных двигателей тема Анализ статической и динамической прочности рабочей лопатки первой ступени турбины гтд тв2117
Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам
С помощью соотношений (А.9) и (А.10) полученное на комплексной плоскости решение (А.7) может быть преобразовано в тригонометрическую форму. Подставляя соотношения (А.9) и (А.10) в решение (А.7), получим:
Выбранные нами ранее начальные условия t = 0, x(0) = x0 позволили определить, что C1 + C2= x0. Рассмотрим теперь момент времени t±π/2, соответствующий углам поворота векторов Z1 и Z2, равным π/2 и - π/2, соответственно. Из рисунка 2 видно, что в момент времени t±π/2 векторы Z1 и Z2 лежат на мнимой оси yи направлены в разные стороны. При этом действительные части x(t±π/2) = 0. Тогда в соответствии с полученным решением (А.7):
откуда:
Комплексно сопряженные числа eiωt и e-iωt в общем виде могут быть представлены следующим образом:
Подставив выражения (А.14) и (А.15) в уравнение (А.13), получим:
Из рисунка А.2 видно, что в рассматриваемый момент времени tπ/2 комплексные числа Z1= С1·a +С1· b·iи Z2= -С2·a +С2· b·i являются чисто мнимыми, при этом их действительные части равны нулю:
| | x(t) = (C1 + C2)·cos(ωt) + i·( C1 - C2)· sin(ωt). | (А.11) |
| |  | (А.12) |
| |  | (А.13) |
| | eiωt = a + b·i, | (А.14) |
| | e-iωt = a - b·i. | (А.15) |
| | С1·a +С1· b·i = - C2·a + C2·b·i. | (А.16) |
С1·a = 0, - С2·a = 0. Поэтому уравнение (А.16) может быть записано в следующем виде:
откуда следует, что С1= С2. Учитывая полученный ранее результат C1 + C2= x0, определяем значения постоянных С1 и С2 для выбранных начальных условий: С1= С2 = x0/2. Возвращаясь к тригонометрической форме решения исходного дифференциального уравнения (А.11) и учитывая равенство С1= С2, получаем:
Здесь сумма коэффициентов C1 + C2 представляет собой амплитуду колебаний А, равную максимальным по модулю отклонениям свободного конца упругого стержня : C1 + C2 = A = max {| x(t)|}. С учетом этого равенства можно записать решение дифференциального уравнения, описывающего собственные колебания простейшей колебательной системы с одной степенью свободы в окончательном виде:
где ω - циклическая частота колебаний.Рисунок А.3 – Зависимость координаты х свободного конца стержня от времени t в процессе свободных колебаний без затухания
| | С1· b·i = C2·b·i, | (А.17) |
| | x(t) = (C1 + C2)·cos(ωt). | (А.18) |
| |  | (А.19) |
Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/246076