Материал: lab26_2_final

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное

государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Московский технический университет

связи и информатики»

────────────────────────────────────

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

№26-2

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

на тему:

«Анализ рекурсивных цифровых фильтров

1-го и 2-го порядка»

Вариант №21

Выполнил: студ. гр. “Сортирный Союз”

username

Проверил: проф. каф. ОТС

Волчков В. П.

(Осенний семестр)

Москва 2021

1. Цель работы

На персональном компьютере провести анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.

2. Выполнение домашнего задания

   1. Исходные данные варианта

В соответствии с вариантом, исходные данные в таблице 1 Табл.1. Исходные данные для расчета

2. Запись разностного уравнения и системной функции

Разностное уравнение ЦФ:

(1)

В данном уравнении: - , – совокупности коэффициентов ЦФ; - , – задержанные (на l и m периодов дискретизации) копии входного и выходного сигналов ЦФ.

(2)

В данной формуле:

- коэффициенты разностного уравнения;

- входной сигнал с задержкой 0, 1, ...;

- выходной сигнал с задержкой 0, 1, ….

Подставив в формулу (2) исходные данные из табл. 1, получим:

(3)

Пусть задан дискретный сигнал . Тогда его односторонним Z-преобразованием называется:

(4)

Пусть на входе ЦФ действует сигнал , а на выходе наблюдается сигнал . Тогда системной функцией ЦФ называется отношение:

(5)

Свойство линейности Z-преобразования:

(6)

(7)

Свойство смещения Z-преобразования:

(8)

Системная функция рекурсивного ЦФ находится с помощью (1):

(9)

Приравняем левую и правую части:

(10)

Воспользуемся свойством пропорции и найдём системную функцию рекурсивного ЦФ:

(11)

После подстановки исходных данных в уравнение (11), получим:

(12)

3. Построение структурной схемы цф

Структурная схема фильтра, составленная на основе уравнения (3), показана на рис. 1

Рис. 1. Структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка

4. Расчет и построение импульсной реакции, амплитудно- и фазо-частотной характеристики цф

Импульсная реакция - отклик ЦФ на входной единичный импульс:

(13)

где - единичный импульс Кронекера:

(14)

В соответствии с формулами (2) и (13) и начальными условиями получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:

(15)

График импульсной реакции изображен на рис. 2.

Рис. 2. Импульсная реакция рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a₁ = 0,44; b₀ = 1)

Комплексным коэффициентом передачи ЦФ называется функция частоты :

(16)

где - частота дискретизации, - интервал дискретизации.

Амплитудно-частотной характеристикой ЦФ называется функция частоты:

(17)

где - оператор взятия модуля комплексного числа. По определению модуля комплексного числа :

(18)

Для комплексного числа справедливо следующее:

(19)

(20)

(21)

Также по формуле Эйлера:

(22)

(23)

Следовательно, АЧХ ЦФ рассчитывается по следующей формуле:

(24)

Если в уравнении (11) произвести замену , где - круговая частота, [рад/с], - период дискретизации, [с] и взять модуль, получится АЧХ ЦФ:

(25)

Рис. 3. АЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a₁ = 0,44; b₀ = 1)

Рассчитаем ФЧХ ЦФ, найдя аргумент функции :

(26)

Рис. 4. ФЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка (a₁ = 0,44; b₀ = 1)

3. Выполнение лабораторной работы

3.1. Исходные данные эксперимента

Для всех исследуемых ЦФ .

Значения коэффициентов для фильтра первого порядка:

Значения коэффициентов для фильтра второго порядка:

3.2. Структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Структурная схема исследуемого рекурсивного ЦФ 2-го порядка, построенная на основе уравнения (24) показана на рис. 5.

(27)

Рис. 5. Структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка

3.3. Результаты лабораторного эксперимента

При помощи амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), импульсной характеристики (ИХ) и переходной характеристики (ПХ) производится исследование рекурсивных цифровых фильтров.

ИХ фильтра первого порядка представлена в формуле (15).

ИХ фильтра второго порядка:

(28)

АЧХ фильтра первого порядка представлена в формуле (25).

АЧХ фильтра второго порядка:

(29)

Переходной функцией называется отклик ЦФ на входное воздействие в виде единичного скачка и :

(30)