Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий 1, 2, , ,
образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события
A:
( ) = ( |
) ∙ |
|
( ) + ( |
) ∙ |
|
( ) + + ( |
) ∙ |
|
( ). |
(13) |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Пример. К экзамену студент подготовил 45 вопросов из предложенных
60. Вероятность ответить правильно на знакомый вопрос равна 0,9, а на не подготовленный 0,05. Какова вероятность того, что студент правильно ответит на первый вопрос?
►Пусть событие A означает, что первый вопрос студенту знаком, тогда ̅
– то, что первый вопрос студенту не знаком, а событие B – что он ответил на первый вопрос правильно. События A и ̅образуют полную группу, как
противоположные события. |
По условию, |
( ) = 0,9, а ̅( ) = 0,05. |
По |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
45 |
|
3 |
|
|
|
̅ |
|
1 |
|
||
определению вероятности, ( ) = |
60 |
= |
4 |
, а ( ) = 1 − ( ) = |
4 |
. По формуле |
|||||||
полной вероятности получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
= |
3 |
∙ 0,9 + |
1 |
∙ 0,05 = 0,6875. ◄ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) = ( ) ∙ ( ) + ( ) ∙ ̅( ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Предположим, что в |
условиях |
|
предыдущей теоремы событие |
A |
|||||||||
произошло. Поскольку мы не знаем какое из событий 1, 2, , произошло,
будем называть эти события гипотезами. Можно ли утверждать, что гипотеза
справедлива с некоторой вероятностью, т.е. возможно ли оценить условную |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятность |
( )? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула Байеса (или Бейеса): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( )∙ |
|
|
( ) |
|
|
|
( )∙ |
|
( ) |
|
||
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
(14) |
|||
( )∙ |
|
( )+ +( )∙ |
|
( ) |
( ) |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того,
как событие A произошло.
Пример. Предположим, что в условиях предыдущего примера студент ответил на первый вопрос правильно. Какова вероятность того, что этот вопрос был ему не знаком?
►В этом примере гипотезами служат события A и ̅, определенные в решении предыдущего примера, а событие считается уже произошедшим,
т.е. достоверным. Искомую вероятность найдем по формуле (14):
|
|
|
̅ |
|
( ) |
|
|
1 |
∙0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
̅ |
|
( )∙ ̅ |
|
4 |
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
≈ 0,018. ◄ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( ) |
|
0,6875 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Из примера видно, что лучше учить вопросы к экзаменам, а не рассчитывать на то, что удастся хорошо ответить экспромтом.