Материал: Лекции 2к4с темы 1-7 ТеорВер

Тема 1 Испытания и события

Испытание – осуществление определенных действий в условиях, которые можно повторить. Событие – результат испытания.

Событие , которое не может произойти в конкретном испытании, называется невозможном, событие , которое всегда происходит, – достоверным. Случайным считается событие А, которое может в испытании как произойти, так и не произойти. События, которые вместе в одном опыте осуществиться не могут, являются несовместными. Событие , состоящее в том, что А не произошло, называется противоположным событию А.

События и действия над ними могут быть проиллюстрированы диаграммами Венна. Испытание моделируется случайным выбором точки в области , а принадлежность этой точки закрашенной фигуре является некоторым событием. На рисунке 1 область  изображена в виде прямоугольника, событие А – выбор точки внутри треугольника, событие – выбор точки вне треугольника (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

А  В – событие А включено в событие В (выбор точки внутри квадрата), если событие В всегда происходит, когда происходит А (рис. 3).

Рис. 3

События А и В эквивалентны (А = В), если А  В и В  А.

Сумма событий А + В (объединение А  В) – происходит хотя бы одно из этих событий (или А или В или А и В вместе). На рисунке 4 тонировано событие А + В.

Рис. 4

Произведение событий АВ (пересечение А  В) – происходят оба события (и А и В).

Рис. 5

Разность событий А\В – происходит А и не происходит В.

Рис. 6

Справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. ;

3. 

4. ;

5. , если события А и В несовместны, и наоборот.

События А₁, А₂,…, А_n называются единственно возможными, если хотя бы одно из них всегда происходит в результате испытания, т.е. их сумма (объединение) является достоверным событием: А₁ + А₂ +…+ А_n = . События А₁, А₂,…, А_n называются попарно несовместными, если произведения (пересечения) различных пар событий являются невозможным событием: А_i  А_j = ; События А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу событий, если они единственно возможны и попарно несовместны. Например, события А и образуют полную группу, т.к. они вместе они осуществится не могут, но одно из них обязательно произойдет.

Относительная частота событий

Относительной частотой (или кратко «частотой») w_n события А в серии испытаний называется отношение

,

где n_А – число испытаний, в которых зафиксировано событие А;

n – общее число испытаний.

Свойства частоты:

1) w_n() = 1;

2) w_n() = 0;

3) ;

4) w_n(АВ) = , если события А и В несовместны;

5) , если события А и В несовместны;

6) ;

7) , если А  В.

В теории вероятностей изучаются случайные явления, в которых частота события обладает свойством статистической устойчивости: при увеличении числа испытаний n частота стабилизируется и приближается к определенному числу.

Пример. Студент присутствовал на восьми семинарах из десяти. Какова относительная частота пропуска студентом семинаров?

Пример. Доказать, что , если события А и В несовместны.

Пусть в результате n опытов событие А произошло n_А раз, а событие В – n_В раз. События А и В несовместны, поэтому число опытов, в которых произошло А или В, равно n_А + n_В.

Вероятность

Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события А в испытании. Существует несколько взаимодополняющих друг друга определений вероятности. Статистическое определение вероятности основано на свойстве устойчивости частоты. Относительная частота w_n(А), полученная в достаточно длинной серии испытаний, может служить оценкой вероятности события А: Р(А)  w_n(А).

Свойства вероятности аналогичны свойствам частоты:

1) Р() = 1;

2) Р() = 0;

3) ;

4) Р(АВ) = , если события А и В несовместны;

5) Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если события А и В несовместны;

6) ;

7) , если А  В.

Классическое определение вероятности устанавливает вероятность события в классическом опыте, т.е. в испытании с конечным числом равновозможных исходов, образующих полную группу событий.

,

где n – общее число равновозможных исходов (элементарных событий);

m – число исходов, при которых происходит событие А (благоприятствующих событию А).

Геометрическое определение вероятности распространяет основной принцип классического определения – равновозможность исходов событий на случай бесконечного множества элементарных событий. Испытание моделируется выбором наудачу точки области , где m() – мера области (площадь S, длина L или объем V). Часть области  мерой S(А) названа А. Выбранная наудачу точка (равновозможное элементарное событие) может как принадлежать области А, так и располагаться вне А. Попадание точки в область А есть случайное событие А. Геометрической вероятностью этого события называется отношение

,

которое не зависит от расположения А в .

Пример. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что число на верхней грани будет больше 4.

Шесть возможных элементарных исходов: w₁; w₂; w₃; w₄; w₅; w₆, где w_i – выпадение грани с числом i.

Исходы единственно возможны, попарно несовместны и равновозможны.

Событие А = {число на верхней грани больше 4} = {w₅; w₆}.

Количество благоприятствующих событию А исходов: m = 2.

= = .

Пример. В урне 3 синих, 4 красных и 5 белых шаров. Из урны наугад достают один шар. Найти вероятности событий А = {извлечен красный шар}, В = {извлечен цветной шар}, С = {извлечен белый шар}.

Общее число возможных исходов: n = 3 + 4 + 5 = 12.

Количество исходов, благоприятствующих событию А: m_A = 4.

Вероятность

Количество исходов, благоприятствующих событию В: m_В = 3 + 4 = 7.

Вероятность .

Количество исходов, благоприятствующих событию С: m_С = 5.

Вероятность .

Замечание. Событие С противоположно событию В, следовательно, .

Пример. На оси х произвольно выбирается точка, координата которой больше нуля, но меньше девяти. Найти вероятность того, что она принадлежит отрезку [1; 4].

Длина исходной области отрезка [0; 9] равна 9.

Длина отрезка [1; 4] равна 3.

Геометрическое определение вероятности: .

Пример. Два студента условились встретиться около университета между 8 и 9 ч, при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи студентов, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любую минуту, и моменты прихода независимы?

Обозначим время прихода студентов x и y соответственно.

Условие встречи студентов: или .

Множество точек M(x; y), координаты которых удовлетворяют неравенству , образуют на плоскости 0ху полосу (рис. 7).

Рис. 7 Рис. 8

Всевозможные исходы изображаются точками квадрата со стороной 60 (минут), а благоприятствующие встрече – расположатся в заштрихованной области (рис. 8).

Площадь не заштрихованного треугольника, расположенного в квадрате: .

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата : .