Материал: Лекции 2к4с темы 1-7 ТеорВер

р_1,2,3  р_4,5,6 =  0,864.

Тема 5 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А (доопытная, априорная) находится по формуле полной вероятности:

Р(А) = ,

если событие А может произойти только вместе с одним из n событий Н_i (гипотез), единственно возможных , попарно несовместных (Н_i  Н_j = ; ).

Если событие А произошло, то послеопытная (апостериорная) вероятность гипотезы Н_i определяется по формуле Байеса:

Р(Н_i/А) = = .

Пример. В четырех урнах содержится по 3 белых и 7 чёрных шаров. Во остальных шести урнах – по 5 белых и 15 чёрных шаров. Найти вероятность того, что

1) шар, извлечённый из наудачу выбранной урны, будет белый;

2) извлечённый белый шар находился во второй группе урн.

Обозначим А = {извлечён белый шар}, Н₁ = {выбрана 1-я группа урн}, Н₂ = {выбрана 2-я группа урн}.

Р(Н₁) = , Р(Н₂) = .

1) Р(А/Н₁) = , Р(А/Н₂) = .

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) =

2) Р(Н₂/А) = .

Пример. Доказать формулу полной вероятности.

Пример. Доказать формулу Байеса.

Р(Н_i/А) = = .

Тема 6

Схема Бернулли

Испытания называются независимыми, если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Схема Бернулли – последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо произойти («успех»), либо не произойти («неудача»). Вероятность «успехов» и «неудач» в испытаниях не меняется: Р(А) = р, . Вероятность того, что в n испытаниях число _n «успехов» равно m (0  m  n), вычисляется по формуле Бернулли:

Р(_n = m) = ,

где − число сочетаний из n по m элементов.

Вероятность того, что в n испытаниях произойдет от m₁ до m₂ «успехов» (0  m₁  m₂  n):

.

Наивероятнейшее число «успехов» в испытаниях определяется двойным неравенством .

Пример. В мишень стреляют четыре раза. Вероятность поражения при одном выстреле 0,8. Определить вероятность того, что мишень будет поражена ровно два раза.

Параметры схемы Бернулли: р = 0,8; q = 0,2; n = 4; m = 2.

.

Пример. В мишень стреляют четыре раза. Вероятность поражения при одном выстреле 0,8. Определить вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз.

Параметры схемы Бернулли: р = 0,8; q = 0,2; n = 4.

= 1−P( = 0) = 1 – 0,2⁴ = 0,9984.

Пример. Трасса, по которой следует автомобиль, имеет 5 перекрестков. Вероятность того, что при подъезде к перекрестку горит зеленый свет (путь автомобилю открыт) равна 0,6. Найти наивероятнейшее число m₀ остановок автомобиля на трассе и вероятность этого события.

Событие – автомобиль перекресток проехал с остановкой.

Параметры схемы Бернулли: р = 0,4; q = 0,6; n = 5.

Наивероятнейшее число остановок автомобиля : для целых значений m₀ = 2.

Тема 7 Приближенные вычисления в схеме Бернулли

Вычисления по формулам Бернулли для больших значений m, n становятся громоздкими. Поэтому при npq > 9 применяются приближенные формулы.

Локальная формула Лапласа:

,

где .

Интегральная формула Лапласа:

,

где .

Функции (х) и Ф₀(х) называются функцией Гаусса и функцией Лапласа. Для х  0 таблицы значений функций (х), Ф₀(х) представлены в приложениях А, В. При х > 4 можно принять (х)  0 и Ф₀(х)  0,5. Справедливы равенства: (–х) = (х) и Ф₀(–х) = –Ф₀(х).

Интегральная формула Лапласа позволяет оценить вероятность отклонения частоты события от вероятности этого события :

.

При большом числе опытов n с малыми вероятностями р и  = np < 10 применяется приближенная формула Пуассона

.

Пример. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Принята для реализации партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей и его вероятность.

Параметры схемы Бернулли: р = 0,9; q = 0,1; n = 300.

Наивероятнейшее число стандартных деталей:

.

Приложение А: 0,3989.

Пример. Контролер за смену проверяет 400 деталей. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,1. Найти вероятность того, что бракованных окажется не менее 30 и не более 50 деталей.

Параметры схемы Бернулли: ; ;

Приближенная формула при :

;

; .

Приложение В: . Это число расположено в шестнадцатой строке и третьем столбце таблицы.

= .

Пример. Контролер за смену проверяет 400 деталей. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,1. Найти вероятность того, что будет забраковано не менее 30 деталей.

Задача почти не отличается от предыдущей, но формулу Лапласа следует записать в другом виде:

.

Пример. Со склада в магазин отправлено 1000 изделий. Вероятность того, что изделие повреждается в пути, равна 0,002. Найти вероятности событий

1) повреждено в пути два изделия;

2) повреждено менее двух изделий;

3) повреждено не менее двух изделий.

Параметры формулы Пуассона: = 1000; = 0,002; .

1)

2)

3)

Контрольные вопросы