Материал: Лекции 2к4с темы 14, 15, 16 Стат

Построить график эмпирической функцией распределения.

Таблица дополняется двумя строками: и .

Аналитическое представление эмпирической функции распределения:

График F*(х) – это отрезки прямых F*(х) = 0,2; F*(х) = 0,38; F*(х) = 0,54 на интервалах (0; 1]; (1; 2]; (2; 3], дополненных линиями F*(х) = 0 при x  0 и F*(х) =1 при x > 3.

2

Тема 16 Статистические гипотезы. Критерий согласия Пирсона

Статистической гипотезой называется любое предположение о генеральной совокупности. Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

2) дисперсии двух генеральных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – параметрах двух распределений.

Выдвинутая гипотеза Н₀ называется нулевой (основной), а гипотеза Н₁, которая противоречит нулевой – альтернативной (конкурирующей).

Любая функция , определенная на элементах выборки, называется статистикой. Пусть при справедливости гипотезы Н₀ известно распределение некоторой статистики. Устанавливается близкое к единице значение вероятности  и определяется интервал (t₁; t₂), для которого

Из генеральной совокупности извлекается выборка и вычисляется значение Если , то оснований отвернуть гипотезу Н₀ по данной выборке нет. Случай означает, что реализовалось событие, вероятность  =1 –  которого мала. В этом случае от гипотезы Н₀ следует отказаться. Заключение о принятии или отклонении гипотезы Н₀ производится по конкретной выборке, что допускает возможность ошибок.

1. При справедливости гипотезы Н₀ осуществилось маловероятное событие , что влечет отклонение верного предположения (ошибка I рода). Вероятность  совершения ошибки первого рода называется уровнем значимости.

2. При ошибочной гипотезе Н₀ двойное неравенство выполняется, следовательно, принимается неверное предположение (ошибка II рода). Вероятность совершения ошибки второго рода обозначается .

Снижение уровня значимости приводит к уменьшению вероятности ошибки первого рода . При  = 0 гипотеза Н₀ будет приниматься всегда независимо от выборки, что допускает ошибку второго рода. Невозможность обеспечения малости обеих вероятностей  и  вынуждает применять умеренные величины уровня значимости: 0,1; 0,05; 0,01. Так  = 0,1 выбирается, если отклонение истинной гипотезы предпочительнее принятия ложной;  = 0,01 выбирается, когда ошибка первого рода существенно менее желательна, чем ошибка второго.

Проверка гипотезы Н₀, согласно которой генеральная совокупность имеет заданный закон распределения, называется задачей проверки согласия. В этом случае конструируется статистический критерий , который принимает малые значения, если гипотеза Н₀ верна. Наблюдаемое в опыте большое значение K_набл можно рассматривать как значимое статистическое опровержение проверяемой гипотезы. Критическое значение K_крит, соответствует заранее назначенному уровню значимости . При K_набл > K_крит гипотеза Н₀ отвергается с уровнем значимости .

Одним из способов проверки гипотезы Н₀ о виде распределении генеральной совокупности является критерий «хи-квадрат» (критерий Пирсона). Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности осуществляется по выборке, оформленной в виде группированного статистического ряда. Для нормального закона распределения (глава 16), теоретические вероятности попадания случайной величины в любой интервал вычисляются по формуле

.

Крайние интервалы и принимаются полубесконечными: и . В каждом интервале вычисляется разность эмпирических частот n_j/n и теоретических вероятностей p_j, вычисленных в предположении о нормальном распределении генеральной совокупности. При справедливости нулевой гипотезы Н₀, сумма величин  n_j/n – p_j  не должна быть велика. Для проверки нулевой гипотезы Пирсон предложил использовать случайную величину

где r – количество интервалов группированного статистического ряда.

Значение K зависит от степени расхождения эмпирических частот n_j/n и теоретических вероятностей p_j во всех интервалах. Возведение в квадрат исключает возможность взаимного погашения отрицательных и положительных разностей. Поправочный коэффициент 1/p_j учитывает вес слагаемых в зависимости от вероятности попадания случайной величины в данный интервал.

Пирсон доказал, что в случае справедливости основной гипотезы Н₀, случайная величина K при достаточно большом объеме выборки имеет распределение, близкое к распределению ^χ2 («хи-квадрат») с k степенями свободы. В случае нормального распределения с параметрами и   s число степеней свободы k = r – 3, где r – количество интервалов, на которые разбит диапазон изменения вариант.

Критические значения для различных степеней свободы k и уровней значимости  приведены в приложении С. Если для конкретной выборки K =  и при этом , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности достаточно надежен при n  50. При этом количество интервалов выбирается от шести до двенадцати и в каждом интервале должно быть не менее пяти наблюдений. Если частоты в отдельных интервалах малы, то соседние интервалы объединяются.

Пример. Сформулировать альтернативную гипотезу для основной гипотезы : математическое ожидание генеральной совокупности равно нулю (МХ = 0).

Альтернативной гипотезой может быть предположение МХ  0, МХ > 0, МХ < 0 и т.д.

Пример. В таблице приведены результаты измерений непрерывной случайной величины.

1) Составить вариационный ряд.

2) Составить группированный статистический ряд.

3) Найти выборочное среднее, выборочное среднее квадратическое отклонение.

4) Проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону при уровне значимости  = 0,05.

1. Объем выборки: n =100.

Вариационный ряд: