Материал: Лекция№6 Электромагнетизм

Магнитный поток. Теорема Остроградского – Гаусса для магнитного поля.

Потоком вектора индукции магнитного поля сквозь малую площадку dS называется физическая величина, равная скалярному произведению вектора на вектор , или, произведению площади этой площадки и проекции вектора на направление нормали к этой площадке dS.

dФ = = B∙dS∙cosα =B_n dS (15)

Интегрируя, получим поток сквозь всю поверхность S:

Ф= . (16)

За единицу магнитного потока в системе «СИ» 1Вб принимают магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади 1м² , расположенной перпендикулярно вектору индукции однородного магнитного поля величины 1Тл.

В электродинамике доказывается следующая теорема, названная теоремой Остроградского – Гаусса для магнитного поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

=0 (17)

Поток магнитной ндукции сквозь замкнутую поверхность равен «0» - так как в природе не существуют «магнитные» заряды, на которых могли бы начинаться и заканчиваться линии магнитной индукции.

Расчет магнитного поля тороида

Закон полного тока и теорема Остроградского – Гаусса имеют большое значение для расчета магнитных цепей.

Рис. 9. Расчет поля тороида.

На рис.9 показан так называемый тороид.

Рассмотрим три частных случая.

1. рассмотрим область пространства, где r < R₁ . В этой области токов нет.

Тогда H∙2πr =0, и, соответственно, Н=0.

2. если r > R₂ , то окружность l охватывает 2N проводников с током, но в N из них ток идет в одном направлении, а в других N - в противоположном.

Тогда: =0 и Н=0.

3) если R₁ < r < R₂ , то окружность охватывает N проводников, токи в которых одинаково направлены. Тогда: H∙2πr = N∙ I, или Н=

H_max = , H_min = , где d – диаметр витков.

Тогда: Hср = = n I, (18)

где n – число витков на единицу длины средней линии тороида.

Если увеличивать внутренний диаметр тороида, сохраняя неизменными d и n, то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. В пределе вместо тороида получим бесконечно длинный соленоид. Поле внутри такого соленоида однородно, так как векторы Н направлены параллельно оси соленоида и численно равны друг другу.

Магнитная индукция внутри тороида:

В = μμ₀Н = μ∙μ₀ ∙n∙ I. (19)

Действие магнитного поля на проводники с током.

Плоский замкнутый контур тока в магнитном поле.

Большой интерес представляет действие магнитного поля на замкнутые проводники с током, так как на этом явлении основано действие электроизмерительных приборов, электрических двигателей.

Рассмотрим рамку 1-2-3-4-1, помещенную в постоянное магнитное поле с индукцией В. Рамка всегда старается установиться так, чтобы ее магнитный момент совпадал по направлению с вектором В. Пусть стороны 1-2 и 3-4 равны b, а стороны 2-3 и 4-1 равны а (рис. 10).

Рис.10. Рамка с током в магнитном поле. Вид спереди.

Найдем величину момента сил, действующих на рамку (рис.11). На горизонтальные стороны рамки 1-2 и 3-4 со стороны поля действуют силы Ампера, направленные, соответственно, вверх и вниз. Они равны и уравновешивают друг друга. Эти силы направлены вдоль оси вращения ОО, могут только или растягивать рамку или сжимать, и не могут вращать рамку.

Рис. 11. Рамка с током в магнитном поле. Вид сверху.

Чтобы найти силы Ампера, действующие на стороны рамки на стороны 2-3 и 4-1, удобно рассматривать систему сверху на рис. 11. По модулю силы равны F₂₃ =F₄₁= I∙B∙a∙sin , а по направлению – противоположны: .

Тогда вращающий момент, действующий на рамку: М = F₄₁ cos( F₂₃ cos( = F₄₁ ∙sin = I∙B∙a∙ ∙sin = I∙ S∙B∙ sinα= p_m∙B∙ sinα.

Или: M = p_m ∙B∙ sinα, а в векторной форме: (20)

Исходя из закона Ампера, можно показать, что предыдущая формула справедлива для контура любой формы. Рамка не будет вращаться , когда , то есть когда плоскость рамки перпендикулярна индукции магнитного поля , а нормаль к плоскости – параллельна вектору .

Чтобы повернуть контур на угол α, надо совершить работу:

dA=

Тогда, энергия рамки в магнитном поле: W= A= .

W = - . (21)

Полный магнитный поток сквозь поверхность S контура, создаваемый внешним магнитным полем индукции В и собственным магнитным полем В₁ тока в контуре максимален, когда векторы и параллельны, и минимален, когда антипараллельны:

Ф_max = BS + , Ф_min = = BS -

Устойчивым равновесием является равновесие, когда поток максимален Ф_max (энергия минимальна).

Электромагнитная индукция

Ампер, исследуя действие проводников с током друг на друга и на постоянные магниты, пришел к выводу об электродинамической природе магнетизма. В связи с этим он впервые предложил разбить все учение об электрических и магнитных явлениях на две части: электростатику и электродинамику.

В 1824 голу французский физик Араго обнаружил, что колебания свободно подвешенной магнитной стрелки затухают быстрее, если над этой стрелкой или под ней находится медная пластинка. В 1925году он обнаружил еще более интересное явление: при быстром вращении медной пластинки расположенная под ней магнитная стрелка начинает вращаться в том же направлении. Правильное объяснение опытам Араго было дано спустя несколько лет выдающимся английским физиком Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции.

Принципиальная схема установки Фарадея представлена на рис.12. В первом случае (1) рассматривалась система из двух длинных медных проводов, намотанных на деревянный стержень.

Рис.12

Первая катушка была подключена к батарее Б через ключ К. В цепь второй катушки подсоединили гальванометр, фиксирующий ток. Несмотря на то, что во второй цепи не было источника тока, гальванометр показывал его наличие в моменты замыкания и размыкания ключа в первой цепи.

Во втором опыте (2) гальванометр показывал наличие тока во второй цепи при движении первой цепи относительно второй.

В третьем случае (3) гальванометр показывал наличие тока во второй цепи при движении полосового магнита относительно нее.

Ясно, что причиной возникновения индукционного тока является изменение магнитного поля, пронизывающего вторую катушку.

Чтобы выяснить, что же влияет на возникновение тока, магнитная индукция В или напряженность магнитного поля Н , Фарадей поставил опыты с тороидом, у которого сердечник был то деревянным, то железным (рис.13).

Рис. 13

Во втором случае индукционный ток оказался больше.

Открытое Фарадеем явление получило название электромагнитной индукции.

Ток проводимости в замкнутой цепи может возникнуть только под действием стороннего электрического поля. Следовательно, в замкнутом контуре, находящемся в переменном магнитном поле, появляется так называемое индуктированное электрическое поле. Энергетической мерой этого поля служит электродвижущая сила электромагнитной индукции ε_i.

Закон Фарадея

ЭДС электромагнитной индукции ε_i в контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

ε_i = к . (22)

Ленц исследовал связь между направлением индукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока.

В 1834 году он установил следующий закон (закон Ленца): при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвавшего его к жизни.

Формула, объединяющая законы Фарадея и Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции:

ε_i = - . (23)

Здесь Ф – полный магнитный поток, пронизывающий контур. Поэтому, в электротехнике основной закон принято записывать так:

ε_i = - , где ᴪ - потокосцепление контура.

Легко показать, что ЭДС индукции возникает не только в замкнутом проводнике, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля.

Рис. 13.

Только если в первом случае - это скорость изменения магнитного потока сквозь повеерхность, натянутую на контур, то во втором – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка dt, так что называют скоростью пересечения проводником линий индукции магнитного поля.

Теперь вернемся к рассмотрению случая, когда проводник является неподвижным, а поле является переменным B = B(t). В этом случае переменное магнитное вызывает появление электрического поля, под действием которого возникает индукционный ток в замкнутом проводнике. Найдем связь между напряженностью этого электрического поля Е и изменением потока магнитной индукции сквозь поверхность, натянутую на контур. По определению ЭДС:

, но

= - , где - результирующая напряженность внутри проводника. Отсюда:

Второй интеграл равен нулю, так как циркуляция напряженности поля кулоновских сил по замкнутому контуру равна 0. Или:

= - .

Электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем, является вихревым, циркуляция вектора его напряженности по замкнутому контуру не равна 0.