Материал: Лекция№6 Электромагнетизм

Явление самоиндукции. Токи при замыкании и размыкании цепи.

Вокруг всякого проводника с током существует магнитное поле. Собственное магнитное поле контура создает магнитный поток самоиндукции Ф_с сквозь поверхность S, натянутую на этот контур.

Ф_с =

По закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция в точке, находящейся на расстоянии радиуса вектора от элемента тока проводника:

.Отсюда, для индукции поля, созданного всем проводником: =

Нормальная составляющая вектора индукции, или, по-другому, проекция вектора В на перпендикуляр к поверхности, натянутой на контур:

В_n = . Тогда, поток будет определяться так: Ф_с = }dS

Сила тока I не зависит от S, а . Тогда для потока можно записать:

Ф= LI,

где L = } dS - индуктивность контура.

Из формулы видно, что индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и относительной магнитной проницаемости среды, где он находится.

Индуктивность измеряется в «Генри».

Для контура из нескольких витков N: L = , где Ф=ВS.

Внутри соленоида: В= , тогда

L= = .

При прохождению по контуру непостоянного тока магнитный поток самоиндукции изменяется и в контуре наводится ЭДС индукции.

Возникновение ЭДС индукции в результате изменения тока в цепи получило название явления самоиндукции, а сама ЭДС получила название ЭДС самоиндукции.

Если L=const, то:

ε_S = - .

Под действием ЭДС самоиндукции появляется индукционный ток, который по закону Ленца противодействует изменению тока, вызвавшего его к жизни.

Токи при замыкании и размыкании цепи.

Как пример, найдем закон изменения тока в цепи при ее замыкании и размыкании. По закону Кирхгофа для замкнутой цепи, в которой имеется активное сопротивление R, индуктивность L и источник тока ε (рис. 14), получаем:

ε + ε_S =R∙I, I = .

Рис. 14.

ε - L → ε = L → ε - IR = L → - = ε – I R.

Разделим переменные (ε – I R) и t → - = dt.

Возьмем неопределенный интеграл от левой и правой частей последнего уравнения:

=

ln(ε – I R) = - +lnC, где С – const.

ln = - → = → ε – I R = C →

I R = ε - C → I = (ε - C ).

Если в момент времени t=0 сила тока I = I₀, тогда:

I₀ = (ε - C ) → I₀ R= ε - C → C= ε - I₀ R → I = ε - I₀ R) ] = .

Рассмотрим случай замыкания ключа: при t=0 ток равен нулю I₀ =0, тогда:

I = (ε - ε ∙ ) = . График этой функции представлен на рис 15.

Рис. 15

При замыкании цепи ток не сразу достигает максимального значения, например, лампочка не сразу начинает гореть с максимальной яркостью.

Случай размыкания цепи.

При t=0 величина ЭДС равна нулю ε=0, а сила тока I =I₀ = .

Отсюда:I = .

Сила тока уменьшается по экспоненте, а не сразу до нуля. График функции имеет вид, представленный на рис. 16.

Рис. 16.

Токи Фуко.

Рассмотрим массивные проводники. При прохождении по проводникам переменного тока магнитное поле внутри проводника изменяется и там возникают вихревые токи самоиндукции, которые получили название токов Фуко.

В случае массивного круглого цилиндрического проводника плоскости токов самоиндукции проходят через ось.

Рис. !7.

На рисунке а) рассмотрен случай, когда ток нарастает, а на рисунке б) – когда ток уменьшается. Эти токи противодействуют изменению тока внутри проводника и способствуют на поверхности. Следовательно, сопротивление внутри значительно больше, чем снаружи. Плотность тока максимальна на поверхности. Это явление наблюдается для токов высокой частоты и получило название скин – эффекта.

Количество теплоты, выделяемое в единицу времени вихревыми токами, прямо пропорционально квадрату частоты изменения магнитного поля (так как пропорционально силе тока в квадрате по закону Джоуля-Ленца). Поэтому, для выделения больших количеств теплоты, например, в индукционных печах, применяют токи высокой частоты.

С другой стороны, для уменьшения вредных потерь энергии, связанных с токами Фуко, магнитные цепи электрических машин и сердечники трансформаторов изготавливают из отдельных пластин, параллельных линиям магнитной индукции.

Взаимная индукция. Трансформатор.

Явление взаимной индукции заключается в наведении ЭДС индукции во всех проводниках, находящихся вблизи цепи переменного тока. Впервые это явление наблюдал Фарадей в опыте с двумя катушками (рис.18).

Рис. 18.

Из основного закона электромагнитной индукции следует:

ε₂ = - , где ε₂ - ЭДС во втором контуре, а Ф₂₁ – магнитный поток сквозь поверхность второго контура, обусловленный магнитным полем тока, проходящим в первом контуре. Эту величину называют магнитным потоком взаимной индукции второго и первого контуров.

В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля первого контура пропорциональна току I. Тогда,

Ф₂₁ = L₂₁∙I₁ ,

где L₂₁ зависит от геометрической формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от относительной магнитной проницаемости среды, в которой контуры находятся. L₂₁ – взаимная индуктивность второго и первого контуров.

Если источник отключить от первого контура и подключить ко второму, то в последнем возникает ток I₂ . Магнитный поток сквозь поверхность первого контура будет Ф₁₂ = L₁₂∙I₂ .

Можно показать, что L₁₂ = L₂₁ Тогда ЭДС взаимной индукции определяется по формуле::

ε₂ = - .

Если L₂₁ = const, то ε₂ = - L₂₁ .

Если контуры 1 и 2 находятся в ферромагнитной среде, то L₂₁ зависит от силы тока I₁ . Тогда можно пользоваться аналогичной формулой: ε₂ = - L₂₁ , но здесь L_21динам - динамическая взаимная индуктивность второго и первого контуров.

На явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов.

Рис. 19.

Трансформатор состоит из двух соленоидальных обмоток, укрепленных на общем замкнутом железном сердечнике.

Ф₂₁ = B₁∙S∙N₂ = , с другой стороны Ф₂₁ = L₂₁∙I₁ . Тогда: L₂₁ = .

Ясно, что L₂₁ = L₁₂ . По закону Кирхгофа для первого контура: ε₁ + ε_i = I₁∙R₁ → или ε₁ - L₁ = I₁∙R₁ .

Обычно I₁∙R₁ мало, тогда: ε₁ = L₁ .

Для второго контура, ε₂ = - L₂₁ . Но L₁ = , L₂₁ = . Отсюда,

Изменения переменных ЭДС ε₂ и ε₁ происходят в противофазе.

Если считать мощности тока в первой и второй обмотках примерно одинаковыми, то:

ε₁ ∙ I₁ = ε₂ ∙I₂ и, соответственно,

- это есть коэффициент трансформации.

Энергия магнитного поля электрического тока соленоида:

Wмагн = .

Поскольку рассматриваемое поле соленоида является однородным и сосредоточено внутри соленоида, его энергия распределена равномерно по всему объему Vполя с объемной плотностью: ω _магн = .