Материал: Лекция 04 Непрерывность функции

Лекция 4

Непрерывность функции

При определении предела функции в точке было не существенно, определена ли функция в предельной точке или нет. Рассмотрим теперь класс функций, определенных в некоторой окрестности точки , в самой точке функция может быть определена или неопределёна.

Определение 1. Функция называется непрерывной

в точке , если

1.функция определена в точке ,

2. существует конечный предел при

3. предел существует и равен значению функции в точке

Это же определение можно записать на языке

Определение 2. Функция называется непрерывной

в точке , если

1.функция определена в точке ,

2. функция определена в некоторой окрестности точки

3.

Из данного определения следует, что предел непрерывной функции равен функции от предела, т.е.

Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами.

Пусть теперь точка функции вместе с некоторой окрестностью. Придадим в точке приращение любого знака. Тогда

функция , принимая в точке значение , получит некоторое приращение

по определению 1 функция непрерывна в точке , если

или

или

Так дадим третье определение функции непрерывной в точке , с помощью приращений.

Определение 3. Функция называется непрерывной

в точке , если функция определена в точке и в некоторой окрестности точки , и предел приращения функции равен нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение непрерывной функции.

Определение 4. Функция называется непрерывной в окрестности точки , если она непрерывна в каждой точке окрестности.

Свойства непрерывных функций

Теорема1. Элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. (Элементарные функции это функции )

Доказательство: Доказательство приведём на примере функции , воспользуемся определением 3. Фиксируем любую точку , придадим в точке приращение , тогда функция получит некоторое приращение

т.е. функция непрерывна в точке , а ввиду произвольного выбора этой точки, функция непрерывна на всей числовой оси.

Теорема2 . Сумма, разность, произведение, отношение ( если знаменатель отличен от нуля) двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство: Доказательство вытекает из соответствующих теорем о пределах.

Если функции непрерывны в точке , то функции будет непрерывна в точке , так как

Использовали теорему, предел произведения равен произведению пределов.

Теорема3 .( о непрерывности сложной функции)

Если функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке , то функции будет непрерывна в точке , т.е. непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Доказательство:

Свойства непрерывных функций, непрерывных на отрезке

Определение 5. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка, а в концевых точках существуют два односторонних предела

Функции, непрерывные на отрезке , обладают целым рядом свойств, которые перечислим в виде следующих теорем.

Теорема1 .( об обращении в нуль функции, непрерывной на отрезке)

Если функция непрерывна на отрезке и концах отрезка принимает значения различных знаков, то найдется хотя бы одна точка

такая, что , т.е. непрерывная функция не может изменить знак не пройдя через нуль.

Геометрическая интерпретация: если функция непрерывна на отрезке и , то найдется хотя бы одна точка в которой график функции пересекает ось .

Теорема2.( о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке)

Если функция непрерывна на отрезке и область изменения функции есть некоторый отрезок оси , то для найдется хотя бы одна точка такая, что , т.е. непрерывная функция должна пройти через все свои промежуточные значения или заполнить сплошь промежуток своего изменения.

Геометрическая интерпретация: если функция непрерывна на отрезке и область изменения функции есть некоторый отрезок оси , то для каждой ординаты из множества значений функции обязательно найдется хотя бы одна точка абсциссы из области определения функции.

Теорема3 .( об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)

Если функция непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке ограничена, т.е. .

Геометрическая интерпретация: если функция непрерывна на отрезке , то график этой функции целиком лежит в полосе от до .

Теорема4 .( о наибольшем и наименьшем значении функции, непрерывной на отрезке)

Если функция непрерывна на отрезке , то хотя бы в одной точке функция достигает своего наибольшего и хотя бы в одной точке функция достигает своего наименьшего значений

Геометрическая интерпретация: если функция непрерывна на отрезке , то

график этой функции целиком лежит в полосе от до .

Точки разрыва и их классификация

Если функция определена в окрестности точки , но условия непрерывности в точке нарушены, то в этой точке функция имеет разрыв.

Вспомним определение непрерывности функции в точке .

Определение 1. Функция называется непрерывной