Материал: Лекция 09 Исследование функции по первой производной

Лекция 9

Исследование функции по первой производной

Условия постоянства, убывания и возрастания функции

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на , то на отрезке .

Доказательство: Возьмём для и запишем для интервала теорему Лагранжа

но так как то ,

откуда в силу произвольности выбора точки следует, что постоянна на всём отрезке

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на сохраняет знак, то

1. если функция возрастает на интервале

2. если функция убывает на интервале

Доказательство: Пусть тогда по теореме Лагранжа

Знак разности функций слева совпадает со знаком производной , откуда и следует

1. если

функция возрастает на интервале

2. если

функция убывает на интервале

Определение 1. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции.

Определение 2. Точки, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует вовсе, называются критическими точками функции.

критические точки,

стационарные е точки

Локальный экстремум функции

Определение 3.

Точка называется точкой локального максимума функции , если .

Определение 4.

Точка называется точкой локального минимума функции , если .

Определение 5. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3.(необходимое условие экстремума функции)

Если точка экстремум функции , то , или , или не существует вовсе.

Другими словами, экстремум функции ищется лишь в её критических точках.

Эта теорема, однако, не дает достаточного условия существования экстремума. Так на приведённом рисунке точки критические точки, точки экстремум, а в точках экстремума нет.

Теорема 4.(достаточное условие экстремума функции)

Если функция определена и дифференцируема в окрестности точки , где точка критическая точка функции, причем при переходе через точку производная функции меняет знак , то

1. если знак производной функции меняется с «+» на «», то точка точка локального максимума функции.

2. если знак производной функции меняется с «» на «+», то точка точка локального минимума функции.

Доказательство: 1. если знак меняется производной функции с «+» на «» , то это означает, что возрастание функции слева от точки сменяется на убывание функции справа от точки , следовательно, точка точка локального максимума функции.

2. если знак меняется производной функции с «» на «+», то это означает, что убывание функции слева от точки сменяется на возрастание функции справа от точки , следовательно, точка точка локального минимума функции.

Замечание 1. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке нет экстремуму функции.

Теперь можем сформулировать

Правила отыскания локального экстремума функции

( по первой производной: ищутся экстремумы функции в конечном или бесконечном интервале и функция в этом интервале предполагается непрерывной.)

1 шаг: находим производную функции

находим стационарные точки функции ,( т.е. приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения

присоединяем к найденным стационарным точкам те, в которых

те, к которых производная не существует,

таким образом, находим все критические точки функции

2 шаг: отмечаем на оси все критические точки функции и составляем схему изменения знака производной функции в интервалах между критическими точками функции

3 шаг: на основании схемы делаем вывод о интервалах убывания или возрастания функции.

4 шаг: на основании схемы делаем вывод о характере критических точек. Если нужно, можно построить схематический график.

Пример 1. Исследовать функцию и построить схематический график.

1 шаг: находим производную функции

находим стационарные точки функции

точек, в которых точек, в которых производная не существует, тоже нет.

таким образом, все критические точки нашей функции

2 шаг: отмечаем на оси все критические точки функции и составляем схему изменения знака производной функции в интервалах между критическими точками функции

3 шаг: на основании схемы делаем вывод о интервалах убывания или возрастания функции

4 шаг: на основании схемы делаем вывод о характере критических точек.

построить схематический график.

Пример 2. Исследовать функцию и построить схематический график.

1 шаг: находим производную функции

находим стационарные точки функции

находим точки, в которых

точек, в которых производная не существует, нет.

таким образом, все критические точки нашей функции

2 шаг: отмечаем на оси все критические точки функции и составляем схему изменения знака производной функции в интервалах между критическими точками функции