Материал: Лекция 09 Исследование функции по первой производной

3 шаг: на основании схемы делаем вывод о интервалах убывания или возрастания функции

4 шаг: на основании схемы делаем вывод о характере критических точек

построить схематический график

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на отрезке .

Ставится задача: найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

В силу теоремы Вейерштрасса непрерывная функция на отрезке достигает в некоторой точке отрезка своего наименьшего( и наибольшего) значения. Рассмотрим, например, нахождение наибольшего значения функции на отрезке Если наибольшее значение достигается во внутренней точке отрезка, то это точка одного из локальных максимумов функции.

Если наибольшее значение достигается не во внутренней точке отрезка, то это точка одного из концов отрезка.

Вывод: Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке сравниваются между собой значения функции во всех точках локального максимума и в граничных точках отрезка , выбирается наибольшее – это и есть искомое значение.

Вывод: Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке сравниваются между собой значения функции во всех точках локального минимума и в граничных точках отрезка , выбирается наименьшее – это и есть искомое значение.

Замечание 1. Если сравнить значения функции во всех критических точках функции на отрезке с значениями функции на концах отрезка ( и ), то наибольшее и наименьшее значения и есть искомые величины. В этом случаи мы избегаем дополнительного исследования критических точек на экстремум.

Замечание 1. Если функции имеет на отрезке лишь одну точку локального экстремума, то без сравнения со значениями функции на концах отрезка ( и ) можно утверждать, что в этой точке достигается наибольшее ( наименьшее) значение функции на отрезке

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Ищем критические точки данной функции.

Сравниваем значение функции во всех критических точках функции на отрезке с значениями функции на концах отрезка , имеем

Выбираем наибольшее и наименьшее значения

10