Материал: Лекция 14 физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Лекция 14. Стационарное уравнение Шредингера. Частные

случаи,

Решение уравнения Шредингера является очень сложной задачей и не всегда достижимой, однако часто практическое значение имеет не само решение, а оценка физических величин, при которых оно существует.

Если силовое поле, в котором движется частица, постоянно во времени, то силовая функция U не зависит от времени, и тогда можно разделить переменные координат и времени, т.е. волновую

функцию можно

представить в

виде:

(12.5)

Подставим

это выражение

уравнение

Шредингера:

, или, после математических

преобразований:

(12.6)

Слева от

знака равенства

функция

только времени, а справа

– только координат. Это возможно, если левая и правая стороны равны некоторой постоянной, назовем ее Е, и запишем соотношение

(12.6) еще раз:

Е(12.7)

Уравнение

(12.7)

распадается

на

Первое уравнение

Е .

(12.8)

Решением

этого

уравнения

является функция:

;

или,

(12.9)

Из вида решения для временной части волновой функции следует, что уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии частицы Е с частотой волн де Бройля.

	2)	Второе	уравнение		,

или,	после	преобразований:
			.	(12.10)

	Данное уравнение получило название стационарного урав-
нения	Шредингера.
	Стационарное		– это уравнение	Шредингера для так на-

зываемых стационарных состояний, находясь в которых частица имеет определенные, не меняющиеся со временем характеристики.

Последнее уравнение имеет решение не при всех значениях Е. Значения Еn, при которых решение существует, называются собственными значениями оператора энергии или оператора Гамильтона

. Пси-функции n , которые являются решением стационарного уравнения при данных значениях Еn, называются собственными функциями оператора Гамильтона. Если обозначить эту функцию через n(x), то окончательное решение запишется в виде:

(12.11)

Таким образом, состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической час-

тотой ωn= , определяемой значением полной энергии Еn . Эта связь энергии частицы Е с частотой волны де Бройля является важнейшей основой квантовой механики.

Вероятность нахождения частицы в какой-то точке пространства пропорциональна квадрату модуля функции:

Видно, что вероятность нахождения частицы в какой-то области пространства, перестает зависеть от времени, поэтому подобные состояния, с определенными Еn , называют стационарными.

Частные случаи.

1.Движение свободной частицы.

При свободном движении частицы	ее полная энергия	совпадает
с кинетической, а скорость постоянна.	аправим ось х	вдоль век-

тора скорости v. Тогда стационарное уравнение Шредингера можно

записать в следующем

виде:

(12.12)

Решением

этого

уравнения будет

гармоническая функция:

где

волновое

число.

Полное решение

общего

уравнения

Шредингера

(12.13)

Это выражение соответствует суперпозиции двух плоских волн одинаковой частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Сравнивая полученное выражение с общим выражением плоской монохроматической волны, можно показать, что волновое число к для свободной частицы равно:

k =			, а частота - ω=	Е	.

2. Электрон в одномерном потенциальном ящике. Квантование энергии частицы.

Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном поле, изображенном на рис. 12.1. Потенциальная энергия электрона вне и внутри потенциального «ящика» описывается следующими соотношениями:

	U = в областях 1, 3			для x	0 и x				a;	U	= 0 в
области 2 для 0		x	a.		(12.14)
				В	классической				электронной
				теории считалось, что вне
				металла				потенциальная
				энергия			электрона				равна
				нулю,		а	внутри металла
				она отрицательна и чис-
				ленно		равна		работе			выхода
				электрона			из	металла.
Рис.	12.1
	Иными словами, считалось, что движение электрона ограни-
чено	потенциальным		барьером	прямоугольной		формы			с	плоским

дном. Рассматриваемый нами потенциальный «ящик» с бесконечно высокими стенками более прост, чем реальный случай электрона в металле. Применим к электрону, движущемуся в таком потенци-

альном поле, уравнение Шредингера	в форме (12.10) и учтем, что
для одномерной задачи значок		.

Уравнение Шредингера для электрона в потенциальном поле нашего случая будет иметь вид:

	Е	.	(12.15)

Это уравнение может иметь решение, удовлетворяющие усло-
виям (12.14) только в том		случае,	если	волновая функция				(х)
будет обращаться в нуль на		стенках	«ящика»:		(0)	=	(а)=0 ,
(12.16) так как в области		0	x	a	имеем	U=0,	а	для
областей 1, 3 - U= . Таким образом,				для	электрона в		потен-

циальном «ящике» с бесконечно высокими стенками решение урав-

нения Шредингера должно быть таким, чтобы:
	= 0,	\| 2 =0 вне области 0		x	a.
То	есть	вероятность	найти электрон		вне	«ящика» равна
нулю.
С	учетом	того, что	вне «ящика»	электрон		находиться не

может, задача о движении электрона в прямоугольном потенциальном «ящике» с бесконечно высокими стенками сводится к ре-


шению	уравнения:			при указанных		краевых

условиях	(12.16). Запишем		решение этого уравнение		в виде:
		, где	к имеет смысл волнового		числа	волны де

Бройля для электрона, находящегося внутри потенциального «ящи-

ка», А и В – постоянные. Используя первое из

краевых

условий

(12.16), получим

В=0

(так

как

cos0

sin0=0).

С учетом

вто-

рого граничного условия получаем:

Отсюда

следует, что

В=0,

0, sinka=0.

(12.17)

sinka=0,

когда

kа=n

где

n=1 ,2,3

(12.18)

Условие

(12.18)

имеет следующий

физический

смысл:

, отсюда

(12.19)

Источник: https://studfile.net/preview/16471371/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)