Материал: Лекция 14 физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

То есть на длине потенциального «ящика» должно укладываться целое число полуволн де Бройля.

Еще один важный вывод из условия (12.18): энергия Е электрона в потенциальном «ящике» не может быть произвольной. Она

принимает		лишь	ряд дискретных собственных значений
		, где	n=1 ,2,3	и т.д.	(12.20)

	Для	потенциального		«ящика»	с размерами а, соизмеримыми

с размерами атома а=10-9 м, собственные значения энергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, «расстоя-

ние»	между	которыми	Е =	Еn+1	- Еn	будет	равно	Е
=(2n+1)		Дж				эВ
	Для потенциального «ящика» с размером а=10-2 м, соседние
уровни	отличаются друг от друга на величину
	Е	=(2n+1)		Дж.	Энергетические		уровни	в
этом	случае	расположены	так	близко,	что	можно считать эти

уровни как бы квазинепрерывными. Для такого потенциального «ящика» квантование энергии дает результаты, не столь существенно отличающиеся от результатов классической физики, чем в

случае

«ящика» атомного размера.

Понятно, что

когда

, то есть энергетический спектр в этом случае будет непре-

рывным.

общем случае,

или

Видно, что при

увеличении квантового числа

n, когда

можно

положить

2n+1

, отношение

величина

становится малой по сравнению с Еn , то есть происходит относительное сближение энергетических уровней. При больших квантовых числах n квантование энергии дает результаты, близкие к результатам классического рассмотрения.

Вероятность обнаружить внутри «ящика» электрон с энерги-

ей, отличной от , равна нулю. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными. Следовательно, энергия электрона, находящегося в потенциальном «ящике», квантуется. Квантованные значения Еn называются уровнями энергии, а числа n, определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальном «ящике» может нахо-

диться

только

на определенном

энергетическом уровне Еn.

Иногда

говорят, что он находится в определенном квантовом состоянии

Условие

нормировки

данной

задаче

принимает

вид:

Учтем,

что

и,

взяв этот интеграл, получаем

А=

В результате имеем конечное выражение для возможных ре-

шений

уравнения Шредингера

поставленной задаче:

, где

n=1,2,3

(12.21)

Данное решение показывает, что поведение электрона в одномерном бесконечно глубоком потенциальном «ящике» может быть различным в зависимости от значения числа n.

а рис. 12.2 представлены графики функций плотности вероятности нахождения частицы в бесконечно глубоком потенциальном «ящике» для n = 1, 2, 3. Горизонтальные, тонкие линии соответствуют значениям энергий состояний (энергетическая диа-

грамма или уровни возможных		энергий системы), толстые линии
соответствуют функции	\|	2	.

		Рис. 12.2.
Из	рисунка	видно, что во втором и в третьем состояниях
электрон	не может	находиться в некоторых точках «ящика» A,B,C,

однако он может находиться между этими точками. Кроме этого,

видно, что минимальное значение полной энергии	Е1, которая
внутри «ящика» является кинетической энергией, не	равна нулю,

это означает, что частица находится в непрерывном движении. Такое поведение электрона существенно отличается от поведения макрочастиц, и приводит к тому, что в квантовой механике не может быть использовано классическое понятие траектории.

3.Частица в потенциальной «яме» («ящике») конечной глубины Uo.

Рассмотрим ситуацию, когда электрон находится в одномерном потенциаль-

ном

«ящике» конечной глубины

Uo в

областях 1,3

для x <

x > a; U = 0

Рис. 12.3.

в области

2 для

a). Уравнение

Шредингера

для

этого случая запишется

так:

(12.22)

а рис.12.4

представлены

графики

функции

плотности

веро-

ятности нахождения частицы в потенциальном «ящике» конечной

глубины	для n	= 1, 2,	3….	. В отличие от случая бесконечно
глубокой	ямы, функция \| \|2 не будет равна нулю в областях 1, 3
даже при	малых	энергиях	частицы.

Рис. 12.4.

Это означает, что частица может выйти за пределы потенциальной «ямы» даже в случае, когда ее энергия меньше Uo , чего в классической механике происходить не может.

Подобное явление наблюдается и при рассмотрении поведения микрочастицы вблизи одномерного потенциального «барьера»: U = 0 в

областях

1,3

для x < 0 и

x > a;

U = Uo

в области

для

a. Частица с энергией меньшей

может

проходить

сквозь этот

«барьер». Схема такого барьера

представлена на

рис. 12.5.

Рассмотрим это явление с точки

зрения классической физики. Если

полная энергия частицы Е меньше

высоты

барьера

Uo,

то в области,

Рис.

12.5.

где

U(х)

Е, кинетическая

энергия

частицы

то

есть

отрицательна. С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, так как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Такие явления прохождения сквозь потенциальные барьеры частиц с малой энергией являются чисто квантовыми и называются «туннельными эффектами».

Описывая такое явление в квантовой механике, мы встречаемся с трудностью, связанной с самой возможностью представления полной энергии, как суммы кинетической и потенциальной. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга, нельзя одновременно точно определить координату частицы и ее импульс. Если зафиксировать частицу в определенной области х, измеряя ее координату, то есть зафиксировать с достаточной точностью ее потенциальную энергию U(х), то при этом будет внесена неопределенность

р	в значении ее импульса р		. Таким образом, нельзя

		х

Источник: https://studfile.net/preview/16471371/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)