Материал: Лекция 3

Лекция №3

Основные термодинамические процессы изменения состояния идеального газа

Первый закон термодинамики устанавливает связь между количеством теплоты участвующей в процессе q, изменением внутренней энергии газа du и работой l. Причем количество теплоты и работы можно оценить, если известен характер термодинамического процесса. Основными термодинамическими процессами изменения состояния газа являются:

1) изохорный, протекающий при v = const;

2) изобарный, протекающий при p = const;

3) изотермический, протекающий при Т = const;

4) адиабатный, протекающий при отсутствии теплообмена с окружающей средой;

5) политропный, являющийся при определенных условиях обобщающим для основных процессов и характеризующийся постоянством теплоемкости в процессе.

Рассмотрим эти процессы для идеального газа.

Изохорный процесс протекает при v = const (dv = 0). Линия процесса называется изохорой, которая в pv-диаграмме изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 2.9). Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса:

или – закон Шарля.

Аналитическое выражение работы изменения объема: l = pdv.

Из аналитического выражения первого закона термодинамики (2.5) следует, что при , то есть вся теплота процесса идет на изменение внутренней энергии. (2.44)

Для идеального газа du = c_v dt,

Следовательно

– см. уравнения (2.8) и (2.9), или (2.45)

Изменение внутренней энергии (2.46)

Проинтегрировав выражение dh = c_pdt.

по процессу 1–2, получим изменение энтальпии в этом процессе:

(2.47)

Изменение энтропии определяется из уравнений (2.41) и (2.43):

(2.48)

В Ts-диаграмме процесс изобразится в виде логарифмической кривой (рис. 2.10).

Изобарный процесс протекает при p = const (dp = 0). Линия процесса называется изобарой, в pv-диаграмме эта прямая параллельна оси абсцисс (рис. 2.11). Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса

или – закон Гей-Люссака.

Из выражения l = pdv

после интегрирования получим удельную работу

. (2.49)

Согласно уравнения (2.17), q_p = h₂  h₁ (2.50)

Или . (2.51)

Изменение внутренней энергии и энтальпии описываются уравнениями (2.46) и (2.47), а изменение энтропии определяется из выражений (2.42) и (2.43):

. (2.52)

В Ts-диаграмме изобарный процесс, так же, как изохорный, изображается в виде логарифмической кривой (рис. 2.12). Но в одном и том же интервале температур (от T₁ до Т₂) энтропия изобарного процесса s_p изменяется больше, чем изохорного s_v, так как c_p >c_v на величину R (изохора круче изобары).

Чтобы определить физический смысл газовой постоянной, перепишем уравнение (2.49) как , (2.53)

так как .

Если принять Т₂  Т₁ = 1К = 1⁰С, п

.

Газовая постоянная равна работе, совершаемой 1 кг идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры на 1^оС.

В изобарном процессе ;

для идеального газа du = c_vdt.

Из характеристического уравнения pv=RT

после дифференцирования при p = const получаем pdv = RdT.

Тогда аналитическое выражение первого закона термодинамики в изобарном процессе можно записать в виде с_pdt = с_vdt + RdT.

После сокращения на dt = dT

получим уравнение Майера с_p  с_v=R,

из которого видно, что количество теплоты, которая тратится в изобарном процессе на повышение температуры газа на 1^оС, больше, чем в изохорном, на величину работы в этом процессе.

Изотермический процесс протекает при T = const (dT = 0).

Линия процесса называется изотермой. Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса:

или p₁v₁=p₂v₂.

Рис. 2.13. Изотермический процесс в координатах pv

pv=const.

В pv-диаграмме изотерма представляет собой равнобокую гиперболу (рис. 2.13). Из уравнения первого закона термодинамики

q = с_vdT + pdv

при следует δq = pdv = l

или

(2.54)

Таким образом, в изотермическом процессе вся подведенная теплота затрачивается на совершение работы: q_T = l_T; Q_T = L_T.

И

Рис. 2.14. Изотермический

процесс в координатах Ts

.

В Ts-диаграмме изотерма  это прямая 1-2 (рис. 2.14), а заштрихованная площадь 12s₂s₁1 пропорциональна теплоте процесса. Поэтому, кроме выражения (2.54), теплоту в изотермическом процессе можно рассчитать также по формуле

q_T = T(s₂s₁). (2.55)

Изменение внутренней энергии и энтальпии при T = const определяется соответственно из формул (2.46) и (2.47):

;

.

Процесс, при котором рабочее тело не обменивается теплотой с окружающей средой, называется адиабатным (q = 0; δq= 0), а линия процесса  адиабатой.

Уравнение первого закона термодинамики в адиабатном процессе имеет вид

или .

После дифференцирования получим

Разделив каждое слагаемое на , получим дифференциаль-

ное уравнение адиабаты

или кpdv+vdp = 0, где  показатель адиабаты.

Теперь каждое слагаемое полученного выражения делим на pυ и интегрируем при к = const:

;

.

Полученный результат потенцируем: (2.56)

или .

Отсюда уравнение адиабаты в переменных pv: pv^к = const. (2.57)

Чтобы получить уравнение адиабаты в переменных Tv и pT, подставим в выражение

(2.58)

вместо его значение из уравнения (2.56):

или , Tv^к-1 = const. (2.59)

Затем в это же уравнение (2.58) вместо подставим его значение в виде

или p^1-кT^к = const. (2.60)

В pv-диаграмме кривая адиабаты круче изотермы, так как к > 1 (рис. 2.15). Работа в адиабатном процессе определяется из уравнения q= u + l. При q = 0 .

В адиабатном процессе работа совершается только за счет убыли внутренней энергии газа. Преобразуем полученное выражение, считая теплоемкость не зависящей от температуры:

Разделив числитель и знаменатель на с_v, получим

Вместо подставим его значение из формулы (2.60) и получим окончательное выражение в виде

(2.61)

И

В Ts-диаграмме адиабата – это прямая 1–2, параллельная оси ординат (рис. 2.16).

На рассмотренные ранее процессы накладывались особые ограничения (p = const, v = const, T = const, q = 0). В каждом из них подведенная теплота распределялась между u и l таким образом, что отношение u/q принимало вполне определенное значение для каждого процесса. Обозначим

– характеристика политропного процесса

и определим его для каждого из рассмотренных процессов: