Материал: Лекция 3

v = const; q = u; ;

p = const; ; q=c_pT; ;

T= const; =0;

s = const; q =0; .

Процессы, в которых  (доля теплоты, затраченной на изменение внутренней энергии) будет принимать какое угодно значение, оставаясь постоянной в данном процессе, называются политропными. Очевидно, что все рассмотренные ранее процессы являются частными случаями политропного процесса. Политропные процессы характеризуются постоянным значением теплоемкости в процессе, которая называется политропной теплоемкостью.

Найдем уравнение политропного процесса. Для этого запишем аналитическое выражение первого закона термодинамики: ,

или, учитывая, что , где с_п – теплоемкость политропного процесса. Вместо Т подставим ее значение из уравнения pv = RT:

;

Произведем преобразование:

,

.

Разделив каждое слагаемое на , получим

.

Обозначим  показатель политропы.

Подставим n в уравнение (2.62) и разделим каждое слагаемое на pv:

.

Интегрирование при n = const в пределах от начала до конца процесса дает

После потенцирования получим

или .

Уравнение политропного процесса в переменных pv:

. (2.62a)

Далее по аналогии с адиабатным процессом записываем:

– уравнение политропного процесса в переменных Тv: Тv^n-1= const; (2.62b)

– уравнение политропного процесса в переменных pT:

p^1-n Тⁿ = const. (2.62c)

Найдем значение теплоемкости политропного процесса:

Отсюда (2.63)

В формуле

заменим с_п на с_v / и разделим числитель и знаменатель на с_v:

Решаем полученное выражение относительно : . (2.64)

Подставив выражение (2.64) в уравнение (2.63), получим теплоемкость политропного процесса

.

Количество теплоты, участвующей в политропном процессе: ,

или .

Работу в политропном процессе можно определить из уравнения первого закона термодинамики: q = u + l или .

Отсюда

Подставив в полученное выражение соотношение ,

окончательно получим работу в политропном процессе:

.

Изменение внутренней энергии и энтальпии:

Изменение энтропии определяется из выражения

.

После интегрирования получим

.

Обобщающее значение политропного процесса

Уравнение политропы pvⁿ = const.

Из этого уравнения получим:

- при n = 0, p = const – изобарный процесс;

- при n = 1, pv = const – изотермический процесс;

- при n = к, pv^к = const – адиабатный процесс.

Запишем уравнение политропы как p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ.

Извлечем корень n-й степени и получим p₁^1/nv₁ = p₂^1/nv₂.

Отсюда при n =  v₁ = v₂, то есть v = сonst – изохорный процесс. Таким образом, все перечисленные процессы являются частными случаями политропного процесса.

Изобразим их на единой pv-диаграмме (рис. 2.17). В адиабатном процессе q=0 все процессы, расположенные правее адиабаты, протекают с подводом теплоты (q > 0), процессы, расположенные левее адиабаты,  с отводом теплоты (q < 0). При n =1 T = const, u = 0. Правее изотермы u > 0, левее изотермы u < 0.

Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрицательную теплоемкость, так как знаки q и du в этих процессах различные. Знак du соответствует знаку dT (du>0, dT>0 и du<0, dT<0). Тогда из выражения c = q/dT видно, что, если q и dT имеют противоположные знаки, теплоемкость действительно отрицательная.

Практически это означает, что при подводе теплоты в этих процессах температура уменьшается, а при отводе теплоты – увеличивается. К такому же результату приводит и выражение теплоемкости в политропном процессе:

.

В этом выражении, если к>n>1, теплоемкость получается отрицательной: с_n<0. В заштрихованной области к>n>1. Такие процессы наблюдаются при сжатии газа в компрессоре.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики:

q = du + l.

Допустим, теплота подводится (q > 0). Если газ совершает работу и при этом l больше, чем q, то часть работы может совершаться за счёт уменьшения внутренней энергии u, а ее уменьшение приводит к понижению температуры газа.

Если q <0 (теплота отводится), и над газом совершается

работа l>q, то часть работы пойдет на увеличение внутренней энергии газа, а это приводит к повышению его температуры.

Изобразим рассмотренные ранее процессы на единой Ts-диаграмме (рис. 2.18).

Ts-диаграмма более наглядно показывает, как изменяется внутренняя энергия в любом процессе, а также подводится или отводится теплота. В изотермическом процессе (n=1) u=с_vm(T₂-Т₁)=0. Поэтому выше изотермы, где dТ>0, u>0, ниже изотермы, где dТ<0, u<0.

Из формулы видно, что в квадрантах I и III с>0, так как ds и dT имеют одинаковые знаки; в квадрантах II и IV с<0, так как ds и dT имеют разные знаки. Для процесса T=const – c=, а для s=const – c=0.