Статья: Линейные цепи с магнитными связями

Линейные цепи с магнитными связями

Типичными представителями электрических цепей с магнитными связями являются:

1. Трансформаторы.
2. Антенны.
3. Электрические машины.

При изменении электрического тока в одной из катушек цепи из-за изменения общего магнитного поля во второй катушке наводится напряжение взаимной индукции. Рассмотрим цепь, представленную на рисунке ниже.

Рисунок 1. Цепь.

На выше представленном рисунке катушки индуктивности (L1, L2) магнитосвязанные, что обозначено на нем стрелкой с указанием взаимной их индуктивности М21. Взаимная индуктивность представляет собой коэффициент пропорциональности между напряжением взаимной индукции, которое наводится во второй катушке и производной электрического тока в первой катушке:

$u2M(t) = M21*(di/dt).$

Знак наводимого напряжения зависит от направления тока в катушках и направления намотки в них. В том случае, когда магнитные поля, создаваемые токами в катушках, складываются, то данное включение называется согласованным. Напряжения взаимной индукций и самоиндукции также складываются. Если магнитные поля вычитаются, то такое включение называется встречным и напряжения взаимной индукции и самоиндукции вычитаются. Пример схемы с встречным включением изображен на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема.

Звездочками на выше представленных схемах обозначаются одноименные зажимы катушек индуктивности. если токи в катушках одинаково направлены по отношению к одноименным зажимам, то включение согласное. Когда токи в катушках направлены неодинаково относительно одноименных зажимов - включение встречное. В линейных электрических цепях с магнитными связями согласно принципу взаимности, верно следующее:

$М21=М12=М$

где М - коэффициент взаимной индуктивности катушек.

Уравнение Кирхгофа для рассматриваемой схемой с согласным включением будет выглядеть следующим образом:

$e(t) = UL1+UL2=L1*(di/dt) + M*(di/dt) + L2*(di/dt)+M*(di/dt) = L1*(di/dt)+L2*(di/dt)+2M*(di/dt)$

В символической форме данное уравнение будет иметь следующий вид:

$Em = jwL1Im + jwL2Im+2jMIm = jwLэквIm$

где Lэкв = L1+L2+2M

Для электрической цепи с встречным включением уравнение Кирхгофа, в символической форме, записывается следующим образом:

$Em = jwL1Im+jwL2Im-2jMIm=jwLэквIm$

где Lэкв = L1 + L2 - 2M

Линейный трансформатор

Пример схемы линейного трансформатора представлен на рисунке ниже.

Рисунок 3. Схема линейного трансформатора.

В первичной обмотке рассматриваемого трансформатора действует источник переменного напряжения (Е1), индуктивность первичной обмотки - L1, а сопротивление R1, соответственно индуктивность и сопротивление вторичной обмотки L2 и R2. Комплексная нагрузка во вторичной обмотке может быть рассчитана по формуле:

$Zн = Rн+jXн$

Уравнение по второму закону Кирхгофа для рассматриваемого трансформатора составляется следующим образом (направления обхода по контуру показаны на рисунке).

$R1+jwL1I1-jwMI2=E1$

$I2*R2+I2*Rн+jXнI2+jwL2I2-jwMI1=0$

По данным уравнения необходимо построить векторную диаграмму напряжений и токов в рассматриваемом трансформаторе. Диаграмма строится в следующей последовательности: I2, RнI2, jXнI2, jwL2I2, R2I2, -jwMI1. При построении диаграммы учитывается, что реактивное сопротивление нагрузки имеет индуктивный характер. Из-за этого вектор напряжения jXнI2 будет опережать ток I2 на 90 градусов, а сама диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 4. Диаграмма.

Вектор -jwMI1 замыкает данную диаграмму напряжений вторичного контура, в котором отсутствует источник напряжения. По данному вектору можно определить вектор тока I1, который повернут на +90 градусов и уменьшенный в wM раз. После этого строятся вектора - jwL1I1, -jwMI2, R1I1 и E1.

В рассматриваемой схеме линейного трансформатора токи не изменятся, если соединить точки b и a в узел ab. Теперь воспользуемся правилами развязки электрических цепей с магнитными связями. Первое правило гласит, что, если зажимы магнитосвязанных индуктивностей расположены одинаково относительно узла, то они могут быть заменены эквивалентной схемой с тремя индуктивностями без магнитной связи. Согласно второму правилу развязки, если зажимы индуктивностей с магнитной связью расположены неодинаково относительно узла, то они могут быть заменены на три индуктивности без магнитной связи (индуктивность с отрицательным значением будет иметь расчетный характер).

К данному узлу индуктивные катушки трансформатора подключены одинаково, поэтому его схема замещения будет выглядеть следующим образом (согласно первому правилу развязки)

Рисунок 5. Схема.

В получившейся схеме линейного трансформатора магнитные связи отсутствуют, контуры связаны электрически через сопротивление общей ветви.