Методы решения математических задач в Maple
2 |
0 |
0 |
|
4 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
4 |
|
1 |
−3 |
4 |
|
3. Дана матрица |
|
−7 |
|
. Привести матрицу А к Жордановой |
A = 4 |
8 |
|||
|
|
−7 |
|
|
|
6 |
7 |
|
форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.
>A:=matrix([[1,-3,4],[4,-7,8],[6,-7,7]]):
>j:=jordan(A);
|
3 |
0 |
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
j := 0 |
|
1 |
|
||
|
|
0 |
− |
|
|
> g:=gausselim(A); |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
||
|
1 |
|
4 |
|
|
g := |
|
5 |
− |
|
|
0 |
8 |
|
|||
|
0 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
> F(A):=charmat(A,lambda); |
|
|
|
||
λ −1 |
|
3 |
− 4 |
||
|
− 4 |
λ + 7 |
−8 |
|
|
F ( A) := |
|
||||
|
− 6 |
|
7 |
|
|
|
|
λ − 7 |
|||
Самостоятельно проверьте, чем будет отличаться результат выполнения команды ffgausselim(A) от gausselim(A) на этом примере.
§4. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения
Системы линейных уравнений и матричные уравнения.
Система линейных уравнений Ax = b может быть решена двумя способами.
Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:
71
Методы решения математических задач в Maple
a |
x |
|
+ a x |
2 |
+... + a |
x |
n |
= b |
||||||||
|
11 |
1 |
|
12 |
|
|
1n |
|
|
|
1 |
|||||
.......... |
|
|
|
.......... |
|
|
.......... |
|
|
|
.......... |
|
....... |
|
|
. |
a |
m1 |
x |
m |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+... + a |
mn |
x |
n |
= b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||||
Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения Ax = b . Аргументы этой команды: А – матрица, b
–вектор.
Спомощью команды linsolve(A,b) можно найти решение
матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.
Ядро матрицы.
Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: Ax = 0 . Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).
Задание 4.
1.Найти общее и одно частное решение системы:
2x
4x2x
−3y + 5z + 7t =1
−6 y + 2z + 3t = 2
−3y −11z −15t =1
>eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1}:
>s:=solve(eq,{x,y,z});
s:={ z = −118 t , y=y, x = 23 y − 161 t + 12 }
Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:
> subs({y=1,t=1},s); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ z = |
−11 |
, |
x = |
31 |
, 1=1} |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
||||
8 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
5 |
||
|
|
|
|
|
, |
||||
2. Решить матричное уравнение: АX=В; где A = |
|
B = |
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
5 |
9 |
> A:=matrix([[1,2],[3,4]]):
> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):
72
Методы решения математических задач в Maple
> X:=linsolve(A,B);
−1 |
−1 |
|
X := |
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
3. Дана матрица |
|
2 |
|
. Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), |
A = 0 |
−1 |
|||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
−1 |
|
где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:
>A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):
>r(A):=rank(A);
r(A):=2 > d(A):=rowdim(A)-r(A);
d(A):=1
> k(A):=kernel(A);
k(A):={[−1,1,2]}
Контрольные задания.
1)Даны 2 вектора: a = (1, 2, 2, 3) , b = (3,1, 5,1) . Найти (a,b) и угол ϕ между этими векторами.
2)Даны 3 вектора: a = ( 2, − 3,1) , b = (−3,1, 2) и c = (1,2,3) . Найти:
[[a, b], c] и [a,[b, c]] .
3) |
Даны системы |
векторов: |
a1 = (2,1,3,−1) , |
|
a2 = (7, 4, 3, −3) , |
|||
|
a3 = (1,1, −6, 0) , a4 = (5,3,0,4) . |
Предварительно выяснив, является |
||||||
|
ли система {a1,a2,a3,a4} базисом, применить процедуру |
|||||||
|
ортогонализации Грамма-Шмидта и построить ортогональный |
|||||||
|
базис этого подпространства. |
|
|
|
|
|
||
|
|
5 7 −3 −4 |
1 2 |
3 |
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Даны матрицы A = |
7 6 |
− 4 |
−5 и |
B = 2 |
3 |
4 |
5 . Найти: |
|
|
|
−3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 4 |
−2 |
1 3 |
7 |
|||
|
|
8 5 −6 −1 |
2 4 |
6 |
8 |
|||
AB, BA, detA, detB.
73
Методы решения математических задач в Maple
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
5) |
Дана матрица: |
A = |
2 |
2 |
-1 |
, M32, A'. |
|||
|
|
|
|
|
. Найти: detA, А |
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
− 2 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
−6 |
4 |
8 |
−1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
2 |
4 |
1 |
|
|
6) |
Найти ранг матрицы: C = |
|
3 |
. Привести матрицу |
||||||
|
7 |
2 |
4 |
1 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
8 |
− 7 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
−5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С к треугольному виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
6 |
4 |
|
|
|
7) |
Дана матрица |
4 |
|
2 |
Найти ее спектр, |
|||||
A = |
3 |
6 |
9 |
6 |
3 . |
|||||
|
|
|
|
|
4 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристический многочлен и значение матрицы на нем (вместо переменной λ в PА (λ) подставить А).
|
|
4 |
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
8) |
Дана матрица |
|
4 |
|
|
T |
, det( e |
T |
), собственные |
|
T = 6 |
−9 . Найти e |
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы и собственные числа матрицы eT , ядро матрицы Т. |
|
||||||||
|
|
3 |
−4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
9) |
Дана матрица U = 4 |
4 . Найти нормальную форму |
||||||||
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
Жордана, |
собственные |
векторы |
|
и |
числа, |
найти |
|||
|
характеристический и минимальный многочлены. |
|
|
|
||||||
74