Методы решения математических задач в Maple
Замечание: сначала следует описать область интегрирования D в
виде неравенств: D ={(x, y) : y ≤ x ≤ π2 − y, 0 ≤ y ≤ π2}
>restart: with(student):
>J:=Doubleint(sin(x+2*y), x=y..Pi/2-y, y=0..Pi/2);
|
1 |
π |
|
1 |
π− y |
|
||
2 |
2 |
|
||||||
|
∫sin(x + 2 y)dxdy |
|||||||
J := ∫ |
|
|
||||||
0 |
|
|
y |
|
|
|
||
> J:=value(%); |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
J := |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|||
3. Вычислить тройной интеграл |
|
∫dx ∫dy∫(4 + z)dz . |
||||||
|
|
|
|
−1 |
x 2 |
0 |
||
Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала внутренние указываются пределы, содержащие функции.
> J:=Tripleint(4+z, y=x^2..1,x=-1..1, z=0..2);
2 1 1
J := ∫∫ ∫4 + zdydxdz
0 −1x 2
> J:=value(%);
J := 403
§3. Векторный анализ
Приведем определения основных дифференциальных операций векторного анализа и команды Maple для их вычисления, которые содержатся в библиотеке linalg.
Градиент скалярной функции f(x, y, z) – это вектор, координатами которого являются частные производные по соответствующим
переменным: |
|
∂f |
, |
∂f |
, |
∂f |
grad f (x, y, z) = |
|
|
. В Maple grad вычисляется |
|||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
||
одноименной |
командой grad(f,[x,y,z],c), где здесь и в |
|||||
98
Методы решения математических задач в Maple
дальнейшем f – функция, [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит.
Параметр с позволяет вычислять данную дифференциальную операцию в различных криволинейных координатах (по умолчанию используется прямоугольная декартова система координат). Этот параметр может указываться во всех имеющихся в Maple дифференциальных операциях. Для вычисления дифференциальной операции в цилиндрических координатах следует записать coords=cylindrical, в сферических координатах – coords=spherical.
Лапласиан скалярной функции f(x, y, z) – это оператор, действующий на функцию f(x, y, z) по правилу:
f |
= |
∂2 f |
+ |
∂2 f |
+ |
∂2 f |
. |
Он |
вычисляется |
командой |
||||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
laplacian(f,[x,y,z],c). |
|
F(x, y, z) называется функция |
||||||||||||||
|
|
Дивергенцией |
вектор-функции |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
∂Fy |
|
∂F |
|||
(скалярная), вычисляемая по правилу: divF(x, y, z) = |
x |
+ |
|
+ |
z |
. |
||||||||||
|
∂y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂z |
||||
Дивергенция в Maple вычисляется командой diverge(F,[x,y,z],c), где здесь и в дальнейшем F – векторфункция, [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит.
Ротором вектор-функции F(x, y, z) называется вектор с
|
|
∂F |
|
∂Fy |
|
∂F |
|
∂F |
∂Fy |
|
∂F |
|
|
||||
координатами: |
rotF = |
z |
− |
|
, |
x |
− |
z , |
|
− |
|
x . |
|||||
∂z |
∂x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ротор вычисляется командой curl(F,[x,y,z],c).
Для вектор-функции F(x, y, z) можно вычислить матрицу Якоби
|
∂F |
|
∂Fy |
|
x |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
||
J = |
∂F |
|
∂Fy |
x |
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
||
|
∂F |
|
∂Fy |
|
x |
|
|
|
∂z |
|
∂z |
|
|
∂∂Fz x
∂Fz ∂y
∂Fz ∂z
с помощью команды jacobian(F,[x,y,z]).
99
Методы решения математических задач в Maple
Задание 3.
1.Дана функция u(x, y) = arctg xy . Найти grad u(x, y) . Какие углы
составляет grad u с осями координат? Найти производную функции
u(x,y) по направлению вектора q=[1,1]. > restart: with(linalg):
Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace
> u:=arctan(y/x): g:=simplify(grad(u, [x, y]));
|
|
y |
|
x |
|
|
g := − |
|
|
, |
|
|
|
x2 |
+ y2 |
x2 + y2 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
> alpha:=simplify(angle(g, [1, 0]));
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α:= π − arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
+ y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
> beta:=simplify(angle(g, [0, 1])); |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
β:= arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x2 |
+ y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
+ y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Косинусы этих углов являются направляющими косинусами grad u(x, y) . Убедимся, что сумма их квадратов равна единице.
> simplify(cos(alpha)^2+cos(beta)^2);
1
Производная функции u по направлению q равна скалярному произведению градиента этой функции на нормированный вектор q:
∂u |
= (gradu, e) , где e = |
|
q |
− нормированный вектор q. |
||||
∂q |
|
q |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
> q:=vector([1,1]);e:=normalize(q); |
|||||||
|
|
|
|
|
q:=[1, 1] |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
2, |
1 |
|
|
|
|
|
|
е:= |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
> udq:=simplify(dotprod(g,e));
100
Методы решения математических задач в Maple
udq:= |
1 |
2(−y + x) |
|
2 |
x2 + y2 |
2. Дана вектор-функция F(x, y, z)= [x2 yz, xy2 z, xyz2 ] . Найти divF и rotF .
>F:=vector([x^2*y*z, x*y^2*z, x*y*z^2]);
>divF:=diverge(F, [x, y, z]);
divF:=6xyz
> rotF:=curl(F, [x, y, z]);
rotF := [xz2 − xy2 , x2 x − xz2 , y2 z − x2z]
3. При каком значении параметра а функция u=x3+axy2 удовлетворяет уравнению Лапласа u=0?
>u:=x^3+a*x*y^2:
>Delta(u):=laplacian(u, [x,y]);
(x3+axy2):=6x+2ax
> a=solve(%=0,a); |
|
|
|||
|
|
a=-3 |
|
|
|
4. Доказать, |
что функция u = |
e−kr + ekr |
, где |
r = x2 + y2 + z2 |
|
r |
|||||
|
|
|
u − k 2u = 0 , k − |
||
удовлетворяет |
дифференциальному уравнению |
||||
постоянная. |
|
|
|
|
|
>u:=(exp(-k*r)+exp(k*r))/r:
>Delta(u):=simplify(laplacian(u, [r, theta, phi],
coords=spherical));
e(−kr) + e(kr) |
|
k 2 |
(e(−2kr) +1)e(kr) |
||
|
|
|
:= |
|
|
r |
|
r |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
> simplify(%-k^2*u);
0
5.Найти матрицу Якоби и ее определитель вектор-функция v=[x, y/x].
>v:=vector([x, y/x]): jacobian(v, [x, y]);
|
1 |
|
0 |
|
||
|
|
y |
1 |
|
||
− |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
||
> det(%);
1
x
101