Имея результаты обследования по слоям, можно характеризовать общество в целом.
Что представляют собой выборки?
Это ряды чисел.
Более подробно остановимся на основных понятиях, характеризующих ряд выборки.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n> n1, где n1 - столько раз наблюдалось появление x1, n 2 - x2 и т.д.
Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом. Числа наблюдений ni называют частотами и ni/n - относительными частотами (или частостями).
Определение. Различные значения случайной величины называются вариантами.
Определение. Вариационным рядом называется ряд, расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами (частостями).
При изучении вариационных рядов наряду с понятиями частоты используется понятие накопленной частоты. Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех предшествующих интервалов.
Определение. Накопление частот или частостей называют кумуляцией. Кумулировать можно частоты вариант и интервалов.
Характеристики ряда могут быть количественные и качественные.
Количественные (вариационные) характеристики - это характеристики, которые можно выразить числами. Их подразделяются на дискретные и непрерывные.
Качественные (атрибутивные) характеристики - это характеристики, которые не выражаются числами.
Непрерывные переменные - это переменные, которые выражаются действительными числами.
Дискретные переменные - это переменные, которые выражаются только целыми числами.
Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением, модой и медианой. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её значений. Мода выборки - те её значения, которые встречаются чаще всего. Медиана выборки - это число, “разделяющее” пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки.
Вариационный ряд может быть дискретным или непрерывным.
Задача
Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.
Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.
Среднее значение этого ряда равно 2,4.
Медиана ряда 2,25.
Мода ряда -1,2.
Дадим определения этим понятиям.
Определение. Медианой вариационного ряда называется то значение случайной величины, которое приходится на средину вариационного ряда (Ме).
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Определение. Модой вариационного ряда называют вариант (значение случайной величины), которому соответствует наибольшая частота (Мо), т.е. которая встречается чаще других.
Определение. Среднеарифметическим значением вариационного ряда называется результат деления суммы значений статистической переменной на число этих значений, то есть на число слагаемых.
Правило нахождения среднеарифметического значения выборки:
1. каждую варианту умножить на её частоту (кратность);
2. сложить все полученные произведения;
3. поделить найденную сумму на сумму всех частот.
Определение. Размахом ряда называется разность между R=xmax -xmin, т.е. наибольшим и наименьшим значениями этих вариантов.
Проверим, правильно ли мы нашли среднее значение этого ряда, медиану и моду, опираясь на определения.
Сосчитали число членов, их 12 - чётное число членов, значит надо найти среднее арифметическое двух чисел записанных посередине, то есть 6 и 7-ой варианты. (2,1+2,4)\2=2.25 - медиана.
Мода. Модой является 1.2, т.к. только это число встречается 3 раза, а остальные встречаются меньше, чем 3 раза.
Среднеарифметическое значение находим так:
(1,2*3+1,3+1,8+2,1+2,4*2+3,0+3,2 +4+5)\12=2,4
Составим таблицу:
Такие таблицы называют частотными. В них числа второй строки - частоты; они показывают, как часто встречаются в выборке те или другие её значения.
Определение. Относительной частотой значений выборки называют отношение её частоты к числу всех значений выборки.
Относительные частоты иначе называют частостями. Частоты и частости называют весами. Найдём размах ряда: R=5-1,2=3,8; Размах ряда равен 3,8.
Информация к размышлению
Среднее арифметическое - это условная величина. Реально она не существует. Реально существует общая сумма. Поэтому среднее арифметическое не есть характеристика одного наблюдения; она характеризует ряд в целом.
Среднее значение можно трактовать как центр рассеивания значений наблюдаемого признака, т.е. значения, около которого колеблются все наблюдаемые значения, причём алгебраическая сумма отклонений от среднего, всегда равна нулю, т.е. сумма отклонений от среднего в большую или меньшую сторону равны между собой.
Среднее арифметическое является абстрактной (обобщающей) величиной. Даже при задании ряда только из натуральных чисел, среднее значение может выражаться дробным числом. Пример: средний балл контрольной работы 3,81.
Среднее значение находится не только для однородных величин. Средняя урожайность зерновых по всей стране (кукуруза-50-60 ц. с га. и гречиха-по5-6 ц. с га, рожь, пшеница и т.д.), среднее потребление продуктов питания, средняя величина национального дохода на душу населения, средний показатель обеспеченности жильём, средний взвешенный показатель стоимости жилья, средняя трудоёмкость возведения здания и т.д. - это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.
В статистике широкое применение находят такие характеристики, как мода и медиана. Их называют структурными средними, т.к. значения этих характеристик определяются общей структурой ряда данных.
Иногда ряд может иметь две моды, иногда ряд может не иметь моды.
Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели; цены на товар данного вида, распространённый на рынке; как размер обуви, одежды, пользующийся наибольшим спросом; вид спорта, которым предпочитают заниматься большинство населения страны, города, посёлка школы и т.д.
В строительстве существует 8 вариантов плит по ширине, и более часто применяются 3 вида:1 м. 1,2 м. и 1,5 м. По длине 33 варианта плит, но чаще других применяются плиты длиной 4,8 м.; 5,7 м. и 6,0 м., мода на плиты чаще всего встречается среди этих 3-х размеров. Аналогично можно рассуждать и с марками окон.
Моду ряда данных находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.
Мода может быть выражена числом и словами, с точки зрения статистики мода - это экстремум частоты.
Медиана позволяет учитывать информацию о ряде данных, которую даёт среднее арифметическое и наоборот.
Задачи
Задача 1. В данной выборке найти моду, медиану, среднее арифметическое, разброс, дисперсию: 3, 2, 15, 5, 10, 8, 6, 3, 10, 8, 15, 5, 10, 8, 5, 3.
Решение.
Группируем данные:
|
Значение |
Частота |
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
3 |
|
|
5 |
3 |
|
|
6 |
1 |
|
|
8 |
3 |
|
|
10 |
3 |
|
|
15 |
2 |
|
|
Всего |
16 |
Составляем расчетную таблицу:
|
Значение, n |
Частота, f |
Накопленная частота |
n*f |
(n-nср)2 * f |
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
27,5 625 |
|
|
3 |
3 |
4 |
9 |
54,1 875 |
|
|
5 |
3 |
7 |
1 |
15,1 |
|
|
5 |
875 |
||||
|
6 |
1 |
8 |
6 |
1,56 25 |
|
|
8 |
3 |
11 |
2 4 |
1,68 75 |
|
|
10 |
3 |
14 |
3 0 |
22,6 875 |
|
|
15 |
2 |
16 |
3 0 |
120 125 |
|
|
сумма |
16 |
1 6 |
243 |
Среднееарифметическое = 7, 25
Дисперсия = 15,1875
Среднееквадратичное отклонение (средний разброс): 3, 8971
Коэффициент вариации: 53, 7%
Вариативность достаточно сильная. Мода определяется по максимальной частоте, но поскольку таких значений в ряду несколько, то наиболее часто встречающихся значений несколько - это 3, 5, 8, 10. Медиана определяется по значению, следующему за серединой ряда накопленных частот. Середина ряда = 16/2 = 8, следующее за ним значение 8 (с накопленной частотой 11). Следовательно, половина выборки меньше (больше) 8.
Задача 2. Даны две независимые выборки объема 11 и 14, извлеченные из нормальных совокупностей X, Y. Известны также исправленные дисперсии, равные соответственно 0,75 и 0,4. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при уровне значимости г=0,05. Конкурирующую гипотезу выбрать по желанию.
Решение
Нулевая гипотеза для нашей задачи записывается следующим образом:
В качестве конкурирующей гипотезы рассмотрим следующую
Вычислим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей и получим наблюдаемое значение критерия:
Так как конкурирующая гипотеза, которую мы выбрали, имеет вид
то критическая область является правосторонней. По таблице для уровня значимости 0,05 и числам степеней свободы равным 10 (11 - 1 = 10) и 13 (14 - 1 = 13) соответственно найдем критическую точку:
Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения (1,875<2,67), то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Таким образом, исправленные дисперсии различаются между собой незначимо.
Рассмотренная задача непроста на первый взгляд, но вполне стандартна и решается по шаблону. Друг от друга такие задачи отличаются, как правило, значениями критериев и критической областью.