Материал: Мет выч методичка
Такие методы можно строить, используя метод неопределенных
коэффициентов. Для этого запишем разностное соотношение для
i
-
го узла в виде
a
0
y
i
+
a
1
y
i
−
1
+
...
+
a
m
y
i
−
m
h
=
b
0
f
i
+
b
1
f
i
−
1
+
...
+
b
l
f
i
−
l
.
(134)
Коэффициенты
a
i
и
b
i
подбираются так, чтобы получить аппрок-
симацию с нужным порядком точности. Если
a
0
=
−
a
1
= 1
,
a
2
=
...
=
a
m
= 0
, то получаем методы Адамса. Уравнение
y
0
=
f
(
x, y
)
эквивалентно интегральному соотношению
y
i
+1
−
y
i
=
x
i
+1
Z
x
i
f dx .
(135)
Если решение в узлах вплоть до
i
-го уже вычислено, то по извест-
ным значениям
f
i
=
f
(
x
i
, y
i
)
можно интерполировать подинтеграль-
ную функцию полиномами различной степени. Далее вычисляя ин-
теграл от выбранного интерполяционного полинома, получаем фор-
106
мулы Адамса.
Приближая функцию
f
на отрезке
[
x
i
, x
i
+1
]
полиномом в форме
Ньютона
f
=
f
i
+
f
i
−
f
i
−
1
h
(
x
−
x
i
)+
f
i
−
2
f
i
−
1
+
f
i
−
2
2
h
2
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
−
1
) +
...
(136)
и учитывая первые два слагаемых при вычислении интеграла, по-
учаем метод Адамса второго порядка точности
y
i
+1
−
y
i
h
=
3
2
f
i
−
1
2
f
i
−
1
.
(137)
Учитывая в (136) три слагаемых приходим к методу третьего поряд-
ка точности
y
i
+1
−
y
i
h
=
1
12
(23
f
i
−
16
f
i
−
1
+ 5
f
i
−
2
)
.
(138)
и случае четырех слагаемых в (136) метод Адамса четвертого поряд-
107
ка
y
i
+1
−
y
i
h
=
1
24
(55
f
i
−
59
f
i
−
1
+ 37
f
i
−
2
−
9
f
i
−
3
)
.
(139)
Метод Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутты требует мень-
ших затрат при нахождении очередного значения
y
i
+1
, т.к. требуется
найти лишь
f
i
, а
f
i
−
1
,...,
f
i
−
3
уже известны к этому моменту, а по
формула Рунге-Кутты на каждом шаге надо находить четыре зна-
чения
f
.
Формулы Рунге-Кутты позволяют проводить вычисления с пере-
менным шагом. Ну и при использовании многошаговых методов мо-
жет неконтролируемо возрастать погрешность вычислений, т.е. воз-
никать неустойчивость.
108