Контрольная работа: Метод аддитивной аппроксимации данных выборки ограниченного объема

Метод аддитивной аппроксимации данных выборки ограниченного объема

Контрольная работа

Метод аддитивной аппроксимации данных выборки ограниченного объема

Содержание

1. Мониторинг выбросов случайных процессов контролируемых параметров

. Оценка критического объема выборок при традиционном подходе обработки стохастических массивов

. Принципы обработки статистических данных в базисе аддитивной аппроксимации стандартными распределениями

. Разработка методов аппроксимирующих вкладов значений выборки

. Разработка метода имитационного моделирования для идентификации вероятностных моделей параметров на основе статистик малых выборок

. Оценка моментов стохастического массива малой выборки

Список использованных источников

. Мониторинг выбросов случайных процессов контролируемых параметров

Мониторинг выбросов случайных процессов контролируемых параметров РТС предлагается осуществлять с использованием подхода, суть которого заключается в том, что с помощью квантования по уровню случайной функции xi, характеризующей изменение во времени диагностируемого параметра, реальный процесс ухудшения функционирования РТС, выражающийся в отклонении (наличии выброса) значения параметра до j-го уровня  квантования, моделируется дискретным процессом, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1 - Измерение характеристик выбросов хi параметра в диапазоне  посредством квантования на q уровней

Состояние РТС отображается совокупностью N непрерывных контролируемых независимых параметров xi (t, S) с соответствующими значениями допусков  нижнего и верхнего уровней, которое можно представить в матричной форме:

. (1.1)

Постепенный отказ ТО сопровождается выходом значений k  контролируемых параметров за пределы своих допусковых зон, тогда, применив пороговый оператор П(х) к каждой строке матрицы (1.1):

, (2)

где , получим булеву матрицу S состояний N контролируемых параметров:

 (3)

С помощью порогового оператора (2) состояние i-го параметра отображается трехместным кодовым вектором с одной единичной компонентой, положение которой в кодовом векторе определяет характер порядкового соотношения между текущим xi (t, S) значением i-го параметра и его допусковых уровней.

Для каждого параметра  формируется дизъюнктивный индикатор выхода i-го параметра за допусковые уровни , множество которых образует вектор состояния ТО:

, (4)

число ненулевых компонент которого отображает число параметров, значения которых в текущий момент времени находятся за пределами допусковых зон.

Квазиматрица может быть представлена согласно посредством логического определителя  в виде ряда упорядоченной последовательности:

. (5)

Упорядоченный кодовый вектор  имеет только одну единичную компоненту, определяющую адрес каждого из k вышедших за допусковые зоны параметров. Пронумеруем соответствующие им векторы  (ситуации) в произвольном, но фиксированном порядке и обозначим  соответственно.

Значения параметров  в области, определяемой ситуацией , обозначим .

Очевидно, что  совпадает с переменной . Индекс этой переменной обозначим  и введем депороговой оператор .

Поставим в соответствие каждой ситуации  -мерный вектор . Тогда для любой ситуации  выполняются равенства:

Положение единичной компоненты вектора  меняется в зависимости от ситуации. Эти ситуации можно отобразить бинарной матрицей G, строки которой соответствуют номеру ситуации, а столбцы - координатам вектора .

. (6)

Матрица G однозначно определяет функцию . В том случае, когда выброс -го параметра контролируется по q уровням квантования диапазона допусковой зоны (см. рисунок 1), пороговый оператор  сопоставляет непрерывно меняющимся переменным (параметрам) q-мерный вектор

,

а пороговый оператор  сопоставляет времени пребывания значения контролируемого параметра  над уровнем допуска  t- мерный вектор :

.

Поскольку вектор  будет функционально определяющим адрес i-го параметра, то представим матрицу состояний ТО в виде бинарной матрицы B, строки которой соответствуют ситуациям, а столбцы - компонентам вектора .

. (7)

Будем рассматривать столбцы  матрицы В как независимые булевы переменные, а строки - как различные наборы этих переменных. При этом каждый столбец  матрицы G (6) будет определять булеву функцию переменных , которая по наборам  принимает значение . При  на наборах значений переменных , не вошедших в матрицу В, матрица считается равной нулю.

Представив по табличному заданию булеву функцию в ДНФ для всех j, получим выражение переменных  через :

Учитывая то, что  при условии, что:

 (8)

получим:

(9)

Таким образом, всякую непрерывно-логическую функцию f(x),  можно реализовать посредством последовательного применения порогового П(x) и депорогового  операторов и преобразования двоичных векторов.

Итак, в момент времени , где k - число ненулевых  координат депороговых операторов , формируется максимальный элемент ранжированного ряда:

, (10)

то есть с помощью поканального () применения депорогового оператора в момент времени  и элементарной операции раскрытия логического определителя  выделяется экстремальный (максимальный) контролируемый параметр , поскольку кодовый вектор  имеет только один ненулевой элемент:

 (11)

Координаты i-го параметра , вышедшего за допусковые зоны, определяются ненулевой компонентой вектора  или единичным элементом матрицы G как:

. (12)

В свою очередь  может быть представлен двоичным вектором размерности  с помощью функции  кодопреобразования вектора :

,

где

Текущее значение  i-го параметра представляется двоичным вектором посредством оператора  аналого-цифрового преобразования:

Для разнородных параметров предварительно указанным процедурам должны предшествовать операции масштабирования и нормирования:

Таким образом, мониторинг значений диагностических параметров, представленных в виде непрерывных функций xi(t, S), осуществляется посредством квантования диапазонов , по уровню и последовательного применения порогового и депорогового операторов, что позволяет:

-       любую непрерывно-логическую функцию xi(t, S) представить дискретным процессом, а именно: массивами амплитуд A(хi)={A1,..., An} и длительностей L(хi)={t1,..., tn} выбросов значений диагностических параметров за допусковые зоны;

-       упорядочивать диагностические параметры по значимости (величине отклонения от заданных допусковых зон);

-       определять адреса параметров, значения которых вышли за допусковые зоны ;

-       наделять контролируемые параметры приоритетами в процессе диагностического мониторинга в зависимости от фактического состояния ТО.

2. Оценка критического объема выборок при традиционном подходе обработки стохастических массивов

Традиционные методы обработки статистических массивов ориентированы на обработку выборок большого объема для получения приемлемого по точности результата. Статистические погрешности зависят от трех параметров, с которыми оперируют при построении функции плотности и интегральной функции распределения, один из этих параметров - объем выборки n. Величина n должна выбираться по возможности большей. Так, например, при n =200 для средней по оси ординат части распределений относительные статистические погрешности составляют 20-40% .

При диагностике сложных ТО в нештатных режимах всегда приходиться иметь дело с предельно ограниченным объемом выборок значений выбросов контролируемых параметров. Поэтому возникает необходимость в обосновании и определении того минимального объема статистических данных, который обеспечивает достаточную для практики точность полученных результатов. Необходимый объем выборки определяют, используя неравенство Чебышева к выборочному среднему:

 (14)

где Х - эмпирическое среднее; Dx - дисперсия случайной величины Х; mx - математическое ожидание величины Х; >0 - вероятность расхождения величин Х и mx.

 (15)

где  s - среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; b - доверительная вероятность.

Графическое решение (15) представлено на рисунке 2. Следует отметить, что использование неравенства Чебышева при вычислении объема выборки дает завышенную оценку для n, однако порядок объема выборки остается достаточно большим.

Рисунок 2 - График зависимости объема выборки n

В случаях, когда для аппроксимации функции распределения используется один из известных законов распределения, задача определения объема выборки n решается методами статистической проверки гипотез . Объем выборки определяется при заданной погрешности оценки Dср, доверительной вероятности b и коэффициента вариации V. Так, для экспоненциального распределения, справедливо:

 (16)

где  - Хи-квадрат распределение для уровня значимости a=1-b с числом степеней свободы 2n.

Решение уравнения (16) представлено на рисунке 3.

Для нормального распределения случайной величины объем выборки определяется по формуле:

, (17)