Материал: Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло)

Указание. Для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации используйте методы теории массового обслуживания. При моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу решите с помощью средств MS Excel.

Решение:

. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле Эрланга:

,

где = ; - нагрузка на систему.

λ = 15 - средняя интенсивность входящего потока заявок;

μ = 5 - средняя интенсивность обслуживания.

Получаем нагрузка ∝ = 3.

Рассчитаем по приведенным выше формулам основные показатели системы для нашей задачи. Воспользуемся средствами MS Excel.

. На рабочем листе MS Excel «СМО с отказами» выполняем следующие действия:

) Создаем таблицу, содержащую столбцы: Число каналов, Вероятность Р0, Вероятность Ротк, а также сумму (1+∝+∝^2/2!+⋯+∝^n/n!) = ; то есть в ячейках С5-С14 будем рассчитывать значения Вероятности Р0 без степени -1.

В ячейку С5 вводим значение 4, рассчитанное как 1+(для одного канала обслуживания n=1); далее в ячейке С6 вводим формулу: =C5+(3^B6/ФАКТР(B6)) и копируем формулу в ячейки С7-С14. Получаем таблицу 1:

Таблица 1

) Рассчитываем в ячейке D5 значение Вероятности Р0 по формуле: =С5^-1 и копируем формулу в ячейки D6-D14.

Затем в ячейке Е5 рассчитываем значение вероятности отказа в обслуживании Вероятности Р_отк по формуле: =D5*(3^B5/ФАКТР(B5)) и копируем формулу в ячейки Е6-Е14. Результаты приведены в таблице 2:

Таблица 2

. Проведем расчет относительной (В) и абсолютной (А) пропускной способности для нашей системы (n = 2), и среднего числа занятых каналов обслуживания (М).

Относительная пропускная способность (вероятность того, что сотрудник будет обслужен):

В = 1 - Р_отк = 1 - Р₀

Абсолютная пропускная способность равна:

А = λВ = 15·0,470588235 = 7,058823525

Среднее число занятых каналов равно:

М =  = 1,411764705

Результаты вычислений приведены в таблице 3.

Таблица 3

4. В результате проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

СМО функционирует с перегрузкой: из двух бухгалтеров, обслуживающих работников, занято в среднем около 1,5. При этом почти 53% сотрудников уходят необслуженными.

.        На основании данных таблицы 2 с помощью мастера диаграмм MS Excel построим график зависимости вероятности отказа в обслуживании от числа каналов (Рис.6)

Рис. 6 График вероятности отказа в обслуживании

Из графика видно, что для того, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85% (Р_отк < 0,15), в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками должно работать n = 5 бухгалтеров.

Задание 5

Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром µ =1,1 ; а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), - закону Пуассона с параметром λ = 2,4.

[?] Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло). Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение:

На рабочем листе MS Excel вводим исходные данные и создаем таблицу для расчета случайных величин X; Y. Вводим значения параметров данных законов распределения µ =1,1 и λ = 2,4 в ячейки F1 и D1 (Рис. 7).

Рис.7 15 реализаций случайных величин Х и Y.

Согласно условию задачи, случайная величина X (длительность обслуживания клиента) следует показательному закону распределения:

Х_i = − ;

где Р_i - случайные числа с равномерным их распределением в интервале от 0 до 1.

Получим Р_i с помощью функции =СЛЧИС() Мастера функций (категория Mатематические). Для этого в ячейку С4 вставим функцию

=СЛЧИС() и копируем ее в ячейки С4:Q4 (Рис. 8).

Рис.8 Использование функции =СЛЧИС()

Получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской, мин.). Для этого:

В ячейку C5 вводим формулу: =60*(-1/1,1)*LN(C4). Копируем эту формулу в ячейки С5:Q5.

Получим 15 реализаций случайной величины Y (время между приходом в парикмахерскую двух клиентов, мин.). Для этого:

В ячейку С6 вводим формулу: =60*(-1/2,4)*LN(С4). Копируем эту формулу в ячейки С6:Q6.

Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (Время поступления требования, мин.). Для этого:

В ячейку С7 вводим формулу: =С6 (время прихода 1-го клиента).

В ячейку D7 вводим формулу: =C7+D6 (время прихода 2-го клиента).

Копируем последнюю формулу в ячейки E7:Q7 (время прихода следующих клиентов). Получаем зафиксированное кумулятивным образом на временной оси (0;Т) время (i=1,2,3…15) поступления требований в минутах (с округлением).

Литература

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2012.

. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2012.

. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2012.

. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2012.

. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2012.