Материал: Методические указания использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л

ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии»

очной формы обучения

Часть 1

A B

Воронеж 2011

Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Дежин, д-р техн. наук М.Л. Лапшина

УДК 517 Методические указания: Использование математического

моделирования при решении прикладных задач для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения. Ч. 1 / ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж, 2011. 29 с.

Методические указания предназначены в качестве руководства для самостоятельного изучения студентами специальности 230201 (ИС) очной формы обучения раздела «Теория вероятностей и математическая статистика» курса «Математика». Методические указания включают в себя 3 занятия и содержат ссылки на литературу, пояснения и примеры, контрольные вопросы и задачи, форму отчетности.

Предназначены для студентов четвертого семестра второго курса.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержатся в файле Веро- ятность-1.pdf.

Ил. 3. Библиогр.: 14 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011

Занятие № 1

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

1.1. Основные понятия

Предметом теории вероятностей являются модели экспе-

риментов со случайными исходами. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменном комплексе условий произвольное число раз. Любой наблюдаемый результат эксперимента интерпретируется как случайный исход опыта (случайное событие). Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя: 1) построение множества элементарных исходов , 2) описание поля событий для данного эксперимента, 3) задание вероятностного распределения на поле событий. Под мно-

жеством элементарных исходов понимают множество взаимоисключающих исходов такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход. Любое подмножество данного множества интерпретируется как событие. Совокупность всех наблюдаемых событий составляет поле событий для данного эксперимента. Понятия, связанные с 2) и 3), определяются строго в аксиоматической теории вероятностей. Множество для данного эксперимента может быть дискретным, непрерывным или иметь более сложную структуру. К дискретным относятся конечные или счетные множества.

Говорят, что событие A произошло (наступило, осуще-

ствилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход , принадлежащий A. Событие, совпадающее с пустым множеством , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством– достоверным событием. Два события A и B называются

совместными (несовместными), если в результате экспери-

мента возможно (невозможно) их совместное осуществление.

2

Другими словами, события A и B совместны, если соответствующие множества A и B имеют общие элементы, и несовместны в противном случае.

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. В частности определены следующие операции и отношения между событиями:

A B (множество A является подмножеством множест-

ва B ) – событие A влечет за собой событие B .

A B (отношение эквивалентности множеств) – собы-

тие A тождественно событию B . Это возможно в том и только в том случае, когда A B и B A.

A B (объединение множеств) – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A или B .

AB (пересечение множеств) – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий A и B . События A и B несовместны, если AB .

A B (множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B ) – разность событий. Это событие, состоящее в том, что A происходит, а B не происходит.

A A (дополнение множества A до ) – противоположное событие. Это событие, состоящее в том, что A не происходит.

Операции сложения и умножения обладают свойствами

коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности,

как арифметические операции над числами, но A A A,

AA A, A BC A B A C .

Справедливы также следующие тождества:

а) A A, A , A , A A.

б) A B AB , AB A B (правила де Моргана).

в) A B B A AB AB A B . Это равенство пока-

зывает, что приводить подобные в алгебре событий нельзя. 3

Для наглядного представления операций над событиями используются диаграммы Венна (рис. 1).

1.2. Примеры решения задач

Пример 1. Производственная установка состоит из двух энергетических устройств и одной машины. Рассматриваются события: A {исправна машина}, Bk {исправно k -е энерге-

тическое устройство}, C {работоспособность установки}. Установка работоспособно, если исправна машина и хотя бы

одно энергетическое устройство. Выразить события C и C через элементарные события A и Bk .

Решение. Событие B1 B2 означает наступление хотя бы одного из событий B1 и B2 , т.е. исправность первого энергетического устройства или второго устройства или исправность обоих устройств. Событие C означает одновременное наступ-

Получаем C A B1 B2 A B1 B2 A B1B2 , т.е. собы-

тие C означает неисправность машины и (или) обоих энергетических устройств.

Пример 2. Производственная установка состоит из управляющего устройства, четырех энергетических устройств и двух машин. A {исправно управляющее устройство},

4

производственной установки, что будет в том случае, когда исправны управляющее устройство, хотя бы одно энергетическая установка и хотя бы одна машина. Выразить события D и D через события A, Bk и Cj .

Решение. Исправности хотя бы одного энергетического устройства соответствует наступлении хотя бы одного из событий Bk , т.е. событие B1 B2 B3 B4 . Аналогично событие

C1 C2 соответствует исправности хотя бы одной машины. Событие D означает одновременное наступление событий A, B1 B2 B3 B4 и C1 C2, таким образом D A B1 B2

B3 B4 C1 C2 . Для определения события D воспользуем-

ся правилами де Моргана. Получаем

D A B1 B2 B3 B4 C1 C2 A B1 B2 B3 B4

C1 C2 A B1B2B3B4 C1C2 ,

что означает неисправность управляющего устройства или неисправность всех энергетических устройств или неисправность обоих машин.

Пример 3. Предприятие состоит из двух цехов, производящих изделия первого типа, и трех цехов, производящих изделия второго типа. Рассмотрим события: Ak {успешная ра-

бота k -го цеха, производящего изделия первого типа} и Bj {успешная работа j -го цеха, производящего изделия вто-

рого типа}. Предприятие сможет выполнить заказ при условии успешной работы хотя бы одного цеха, производящего изделия первого типа и успешной работы не менее двух цехов, производящих изделия второго типа. C {предприятие сможет выполнить заказ}. Выразить события C и C через элементарные события Ak и Bj .

5

Решение. Успешной работе хотя бы одного цеха, производящего изделия первого типа, соответствует событие A1 A2 . События: B1B2 {успешная работы цехов № 1 и № 2, производящих изделия второго типа}, B1B3 {успешная работы цехов № 1 и № 3, производящих изделия второго типа}, B2B3 {успешная работы цехов № 2 и № 3, производящих из-

делия второго типа}. Успешной работе не менее двух цехов, производящих изделия второго типа, соответствует событие

воспользуемся правилами де Моргана. Получаем

CA1 A2 B1B2 B1B3 B2B3 A1 A2

B1B2 B1B3 B2B3 A1A2 B1B2 B1B3 B2B3

A1A2 B1 B2 B1 B3 B2 B3

A1A2 B1 B2B3 B2 B3 A1A2 B1B2 B1B3 B2B3.

Пример 4. Два железнодорожных состава должны подойти под погрузку к одной и той же платформе. Время прихода обоих составов независимо и равновозможно в течение данных суток. Время погрузки первого состава 3 часа, а второго – 4 часа. Изобразить графически следующие событии: A {первому составу придется ожидать освобождения платформы}, B {второму составу придется ожидать освобождения платформы}, C {ни одному из составов не придется ожидать освобождения платформы}, D {время ожидания одним составом другого будет не больше одного часа, при этом составы прибывают во второй половине суток}.

Решение. В данной задаче множество элементарных исходов является непрерывным, так как время изменяется непрерывно. Пусть x – время прихода первого состава, y – вто-

6

рого состава. Рассмотрим систему координат с осями x и y . Так как 0 x 24 и 0 y 24, то областью возможных значе-

в) г) Рис. 2

В случае события A первый состав приходит позже второго, т.е. x y , но не позже окончания погрузки второго со-

лежит между прямыми y x и y x 4 (рис. 2, а).

В случае события B второй состав приходит позже первого, т.е. y x, но не позже окончания погрузки первого со-

7

става, т.е. y x 3. Получаем x y x 3. Данная область лежит между прямыми y x и y x 3 (рис. 2, б).

В случае события C первый состав может прибыть позже окончания погрузки второго состава, т.е. x y 4, или второй состав может прибыть позже окончания погрузки первого, т.е. y x 3. Данные области лежат ниже прямой y x 4 и выше прямой y x 3 (рис. 2, в).

В случае события D первый состав может прибыть за час до окончания погрузки второго или позже, т.е. x y 3, или второй состав может прибыть за час до окончания погрузки первого или позже, т.е. y x 2. Так как составы прибывают во второй половине суток, то x 12 и y 12. Области, удовлетворяющие этим условиям, изображены на рис. 2, г.

1.3.Контрольные вопросы и задания

1.Что является предметом теории вероятностей?

2.Что понимается под случайным событием?

3.Что называется множеством (пространством) элементарных исходов?

4.Что такое поле событий?

5.Каким может быть множество элементарных исходов?

6.Какие случайные события называются невозможными, достоверными, несовместными?

7.Когда одно событие является следствием другого?

8.Какие события называются равными, противополож-

ными?

9.Что называется суммой событий, произведением событий, разностью событий?

10.Приведите свойства алгебраических операций.

11.Запишите правила де Моргана и проиллюстрируйте их на диаграммах Венна.

12.Приведите примеры случайных событий в экономике.

8

1.4.Задачи для самостоятельной работы

1.Обобщите правила де Моргана на произвольное число событий.

2.Докажите тождества:

1) A B A B A, 2) A B A B A B AB, 3) A B A C A BC, 4) AC B AC BC, 5) A BC B AC C AB ABC ABC .

3. На производственном участке работают три станка. События A, B и C – выход из строя, соответственно, 1-го, 2- го и 3-го станка. Выразите через события A, B и C следующие события: D1 {один станок выйдет из строя}, D2 {два

из строя}, D8 {хотя бы два станка не выйдут из строя}.

4. Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3 бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекают по одной детали до появления бракованной, после чего опыт прекращается. Обозначим событие i {при i-м испы-

тании появится бракованная деталь}. Сконструируйте элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над событиями i . Запишите событие A {придется

проводить третье по счету извлечение детали} через i и уп-

ростите запись путем алгебраических преобразований.

5. Два предпринимателя (назовем их Покупатель и Продавец) договорились о встрече в определенном месте между 14 и 15 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка времени и ждет появления другого до 15 часов. При этом Покупатель ждет не более 10 минут, а Продавец – не

9