Материал: Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математика». Кретова Л.Д., Ускова Н.Б

1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного , определяемая формулой

. (1)

Функция называется оригиналом и должна удовлетворять условиям:

1) кусочно-непрерывная однозначная функция

2)

3) .

Эти условия обеспечивают абсолютную сходимость несобственного интеграла (1.1) в полуплоскости Re.

Функцию называют изображением для , она является аналитической в области Re. Соответствие между оригиналом и его изображением обозначают символически или .

Для нахождения изображений наряду с формулой (1) могут быть использованы следующие свойства:

1. Линейность. Если то

где – любые комплексные постоянные.

2. Теорема подобия. Если , то .

3. Смещение изображения. Если , то , где – любое комплексное число.

4. Запаздывание оригинала. Если , то для любого . Здесь – единичная функция Хэвисайда, которая равна 1 при и 0 при .

5. Дифференцирование изображения. Если , то

…..………

.

6. Интегрирование оригинала. Если , то .

7. Интегрирование изображения. Если и является оригиналом, то .

8. Умножение изображений. Если , а и непрерывны на промежутке , то

(2)

9. Формула Дюамеля. Если , то

2. Обратное преобразование Лапласа

Рассмотрим теперь обратную задачу: по известному изображению будем находить оригинал . Сделать это по формуле обращения

крайне затруднительно, поэтому при отыскании оригиналов следует использовать таблицу изображений, свойства преобразования Лапласа и теорему разложения: если – изолированные особые точки дробно-рационального изображения , то оригинал находится по формуле

. (3)

Заметим, что если и все особые точки являются простыми полюсами, то:

(4)

3. Теорема об изображении периодических оригиналов

Теорема: Если , где и , а – периодическая функция , то

. (5)

Доказательство: Представим изображение функции в виде суммы интегралов:

Первый интеграл оставим без изменений, во втором выполним подстановку , в третьем интеграле возьмем подстановку . Получим:

Так как по условию нам дано, что функция периодическая, то . Вынесем за знак интеграла множители, которые не нужно интегрировать. Получим:

Но при , следовательно:

Тогда

Выражение, стоящее в скобках является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем , сумма которой равна , следовательно , что и требовалось доказать.

4. Теорема о дифференцировании оригиналов

Теорема: Если функции …, являются оригиналами и , то

,

,

………………… (6)

Доказательство: Согласно формуле (1) , тогда

.

Вычислив этот интеграл по частям, и учитывая, что , получим:

тогда

Аналогичным образом получаем формулу для n-ой производной:

.

5. Расчетные задания

Задача 1. Найти изображение функций и , если

Используя свойство 5 и таблицу изображений, получаем:

.

Применив свойство о смещении изображения, получим:

.

По формуле (6) имеем:

.

Задача 2. Найти изображение функции, заданной графически.

Составим уравнения наклонных прямых. Уравнение первой прямой имеет вид:

Уравнение второй прямой имеет вид:

.

Таким образом, будет иметь аналитически заданную функцию:

Используя функцию Хэвисайда, запишем в виде:

Применяя свойство 4 о запаздывании оригинала, получим:

Задача 3. Функция при равна нулю, а при является периодической:

Найдем изображение данной функции. По формуле (5) прямого преобразования Лапласа мы имеем:

.

По формуле (1) найдем:

Из тригонометрии мы знаем, что , тогда преобразуем изображение к следующему виду:

.

После вычисления определённых интегралов и подстановки пределов получим:

По формуле (3) имеем:

Задача 4. С помощью вычетов найти оригинал для изображения Ответ записать в действительной форме.

Найдем особые точки данной функции. Для этого приравняем знаменатель функции к 0:

Получим 3 полюса: Во всех 3 случаях кратность полюсов равна 1.

По формуле (4) будем иметь:

Задача 5. Найти оригинал по заданному изображению

Преобразуем данное изображение к следующему виду:

Пусть , тогда Найдем особые точки функции . Для этого приравняем знаменатель функции к 0:

Получим 2 полюса: . Кратность первого полюса кратность второго .

По формуле (3) будем иметь:

После сложения вычетов получим:

По свойству о запаздывании оригинала получаем:

Задача 6. Операционным методом решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях .

Пусть , тогда по формуле (2) получим:

Операторное уравнение будет иметь вид:

Выразим из данного уравнения :

Найдем особые точки данного изображения. Для этого приравняем знаменатель к 0:

Получим два полюса и . Кратность обоих полюсов равна двум.

По формуле (3) будем иметь:

Суммируя вычеты и применяя формулу Эйлера, получим: