Материал: Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине Дискретная математика для студентов специальности 230101. Леденева Т.М., Недикова Т.Н

в) .

23. Существуют ли множества , удовлетворяющие заданному набору условий?

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

24. Выясните взаимное расположение множеств , если - произвольные подмножества некоторого универсального множества :

25. Проверьте, что для любых множеств справедливо включение , если и заданы в таблице:

Операции над отношениями

Ключевые слова: область отпределения отношения, область значения отношения, обратное отношение, композиция отношений.

Задача 2.1. Для данного отношения

найдите .

Решение. По определению инверсии, .

По определению композиции, , так как существует элемент такой, что и . Рассуждая аналогично, получим, что . Таким же образом можно получить . Используя определение проекций, найдем , , тогда .

Задача 2.2. Пусть

. Найдите для этого отношения .

Решение. Очевидно, что . По определению

.

Композиция отношений и определяет отношение

которое в данном случае примет вид

,

где .

Далее таким же образом получим

.

.

Задача 2.3. Докажите, что .

Решение. Пусть

,

что и требовалось доказать.

Задача 2.4. Для отношений и из уравнения найдите наименьшее отношение , если , и .

Решение. Искомое отношение должно быть наименьшим, т.е. иметь минимальную мощность. Найдем , Из определения композиции отношений и минимальности следует, что . Найдем композицию отношения с левой и правой частями равенства . Получим

или

,

откуда

.

Из равенств и определения композиции отношений следует, что Следовательно, верно равенство

.

Итак, отношение кроме пар отношения может содержать также пары отношения , не попавшие в . Выпишем все пары попавшие в

.

Выберем из этого отношения пары, образующие . Для этого построим таблицу, в столбцах которой выпишем пары, образующие отношение , а в строках – пары отношения . Для каждой пары звездочкой отметим пары из , попавшие в композицию . В результате получим следующую таблицу.