Курсовая работа (т): Методы решения математических задач в Maple

Методы решения математических задач в Maple

Содержание

Введение

. Maple его свойства и его возможности

.1      Новые возможности

.2      Дополнительные возможности Maple

.2.1   Графика а Maple

.2.2   Специализированные приложения

.2.3   Финансовые вычисления в Maple

.2.4   Программирование

.2.5   Справочная система

.2.6   Интернет-совместимость

.2.7   Свободные ресурсы

.2.8   Выполнение вычислений

.2.9   Возможности управления математическим содержанием

.2.10 Создание технических документов

.2.11 Разработка пользовательских приложений

. Применение аналитических, численных, графических возможностей системы Maple для моделирования физических явлений

. Использование графики и анимации в системе Maple в педагогическом процессе

Заключение

Список использованных источников

Введение

В последний полтора десятка лет возникло и получило бурное развитие новое фундаментальное научное направление - компьютерная математика, которое зародилось на стыке математики и информатики. Первыми серьезными средствами для автоматизированного выполнения массовых научно-технических расчетов стали программируемые микрокалькуляторы. С появлением персональных компьютеров их стали широко применять для численных расчетов, программируемых на языках высокого уровня, например Фортране, Си, Бейсике или Форте. Однако все большее распространение получают аналитические (символьные) вычисления, обладающие гораздо большей общностью, чем численные вычисления.

Предвестником появления систем компьютерной математики стали специализированные программы для математических численных расчетов, работающие в среде Microsoft MS-DOS. Это Eureka, Mercury, Mathcad [MATLAB 110] под операционную систему MS-DOS. Казалось бы это было совсем недавно - в начале 90-х годов ушедшего столетия. Вслед за этим, на основе достижений компьютерной математики, были разработаны новейшие программные системы символьной математики или компьютерной алгебры (СКА). Среди них наибольшую известность получили системы Mathcad под Windows, Derive, Mathematica и Maple и др.

Хотя множество (и даже большинство) математических задач решается с помощью СКМ без программирования, это не означает отказ от программирования вообще. Напротив, все СКМ, в частности Maple 9.5/10, имеют довольно развитый язык программирования, содержащий типовые средства процедурного программирования, например управляющие структуры, циклы, операторы ввода/вы- вода и т. д.

В последнее время такие языки включают в себя средства визуально-ориентированного программировании пользовательского интерфейса - в Maple 9.5/10 эти средства названы маплетами (maplets). Есть одно весьма важное обстоятельство в современной реализации этих средств - многие маплеты обеспечивают пошаговое решение математических задач с демонстрацией промежуточных результатов вычислений. Это именно то, что давно требовалось от СКМ в образовании и чего они не давали. Теперь подобное решение задач стало возможным и существенно повышает значение систем Maple 9.5/10 в образовании.

СКМ широко используются для научных расчетов, в том числе в Интернете и в мобильных вычислениях. Но особенно велика роль систем компьютерной математики в образовании - они становятся не только удобным инструментальным средством для выполнения огромного числа учебных расчетов, но и средством предоставления учащимся, а нередко и педагогам, знаний в области математики, физики и в иных науках, использующих математические методы. Трудно переоценить и их роль в подготовке высококачественных электронных уроков, учебных курсов и книг.

Системы класса Maple были созданы группой ученых, занимающихся символьными вычислениями (The Symbolic Group), организованной Кейтом Геддом (Keith Geddes) и Гастоном Гонэ (Gaston Gonnet) в 1980 году в университете Waterloo, Канада. Вначале система Maple была реализована на больших компьютерах и прошла долгий путь апробации, вобрав в свое ядро и библиотеки большую часть математических функций и правил их преобразований, выработанных математикой за столетия развития. Есть реализации программы на платформах ПК Macintosh, Unix, Sun и др.

Системам класса Maple во всем мире посвящены многие сотни книг. Достаточно полный список книг по системам Maple можно найти на недавно обновленном сайте разработчика этой системы - компании Waterloo Maple Software (www.maplesoft.com <#"864628.files/image001.gif">

exp(x)

ln(x)

lg(x)

log[a](x)

sqrt(x)

abs(x)

sin(x)

cos(x)

tan(x)

cot(x)

sec(x)

csc(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctan(x)

arccot(x)

sinh(x)

cosh(x)

tanh(x)

coth(x)

 - функция Дирака

Dirac(x)

 - функция Хевисайда

Рисунок 1 Стандартные математические функции

Maple - типичная интегрированная система, которая объединяет в себе:

) мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

) редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

) современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

) мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

) ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

) численный и символьный процессоры;

) систему диагностики;

) библиотеки встроенных и дополнительных функций;

) пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ [2].

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

1.1 Новые возможности системы Maple

Система Maple приобрела ряд новых возможностей. Кратко отметим их:

1)      расширенная поддержка численных алгоритмов пакета программ NAG, в том числе при решении численных задач математического анализа и при решении дифференциальных уравнений;

2)      новый обучающий курс User's Tour, встроенный в ее справку;

3)      существенно переработанные и обновленные пакеты функций;

4)      ускоренные алгоритмы целочисленных вычислений (например, факториал числа 25000 вычисляется более чем на порядок быстрее, чем системой Maple предыдущей версии);

5)      обширный набор новых алгоритмов решения дифференциальных уравнений, обеспечивающий дополнительную эффективность решения задач в области моделирования физических явлений и устройств;

6)      выполненное впервые 100% успешное испытание при решении специальных тестовых задач, что является высшим достижением на рынке средств компьютерной математики;

7)      усовершенствованные и новые алгоритмы реализации многих численных методов решения задач;

)        новые встроенные пакеты аппроксимации кривых CurveFitting, внешних вычислений ExternalCalling, решения линейных функциональных систем LinearFunctionalSystem, ортогональных рядов OrthogonalSeries, работы с полиномами PolynomialTools, решения уравнений SolveTools и поддержки вычислений с размерными величинами Units;

9)      новый пакет для поддержки языка XML;

10)    поддержка новейшего стандарта записи математической информации - языка MathML 2.0;

11)    улучшение пользовательского интерфейса, в частности введение новой палитры ввода шаблонов векторов;

12)    поддержка протокола TCP/IP, обеспечивающего динамический удаленный доступ к данным, например, для финансового анализа в реальном масштабе времени или данных о погоде;

13)    дополнительные пакеты (Maple PowerTools™), доступные через Интернет, поддерживающие анализ методом конечных элементов (РЕМ), нелинейную оптимизацию и статистику, а также три новых пакета: вычисления для новичков, теоретическая физика и программирование;

14)    возможность работы с курсом университетского математического образования, загружаемого через Интернет.

В сочетании с сохраненными возможностями предшествующей версии системы это дает новой версии Maple обширные возможности в эффективном решении широкого класса математических и научно-технических задач, а также задач в области образования.

Возможности Марle:

1)      вычисление сумм последовательностей;

2)      вычисление произведений членов последовательностей;

3)      вычисление производных;

)        вычисление интегралов;

)        разложение функций в ряд;

)        решение уравнений и неравенств;

)        нахождение сингулярных точек функций;

)        вычисление асимптотических разложений;

9)      операции с полиномами;

10)    аналитические операции;

11)    решение СЛАУ;

)        решение дифференциальных уравнений;

)        численное решение дифференциальных уравнений;

)        возможности трехмерной и двумерной графики;

)        математические пакеты.

Необходимости работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, числовые значения элементарных функций, а также многих специальных функций и констант.

Система Maple предлагает различные способы представления и преобразования выражений, например, такие операции, как упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и приведение их к различному виду. Систему Maple можно использовать для решения уравнений и систем алгебраических уравнений.имеет также множество мощных инструментальных средств для вычисления выражений с одной и несколькими переменными. Систему Maple можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), непрерывных или кусочно-непрерывных функций.

Система Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники. Вот некоторые из них:

функция ошибок;

Эйлерова константа;

Экспоненциальный интеграл ;

Эллиптическая интегральная функция ;

Гамма-функция ;

Зета-функция ;

Ступенчатая функция Хевисайда ;

Дельта-функция Дирака ;

Бесселева и модифицированная бесселева функции.

Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенные пределы.

В системе Maple можно решать множество обычных дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями (IVP), и задачи с граничными условиями (BVP).

Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные векторы, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц.

Для технических применений в Maple включены справочники физических констант и единицы физических величин с автоматическим пересчетом формул[3].

Рисунок 5

.2     
Дополнительные возможности Maple

.2.1   Графика в Maple

Графические средства Maple позволяют строить двухмерные графики сразу нескольких функций, создавать конформные графики функций с комплексными числами и строить графики функций в логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой, полярной и контурной форме. Можно графически представлять неравенства, неявно заданные функции, решения дифференциальных уравнений и корневые годографы. Также имеются все возможности для выбора шрифтов для названий, надписей и другой текстовой информации на графиках.может строить поверхности и кривые в трехмерном представлении, включая поверхности, заданные явной и параметрической функциями, а также решениями дифференциальных уравнений. Имеется возможность изменения качества вывода графика на экран путем изменения таких параметров, как шрифты, яркость и цвет.поддерживает двух- и трехмерные анимации. Эту особенность системы можно использовать для отображения процессов, протекающих в режиме реального времени.

1.2.2 Специализированные приложения

В Maple включены пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры, Евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики, теории групп, интегральных преобразований, численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс метод) а также задач финансовой математики и многих, многих других задач.

.2.3  
Финансовые вычисления в Maple

Для финансовых расчетов предназначен программный пакет finance. C его помощью можно вычислять текущую и накопленную сумму ежегодной ренты, совокупную ежегодную ренту, сумму пожизненной ренты, совокупную пожизненную ренту, и процентный доход на неименные облигации. Более того, этот пакет также поможет в расчете дохода, получаемого до срока погашения облигации. Вы можете строить таблицу амортизации, определять реальную сумму ставки для сложных процентов и вычислять текущее и будущее фиксированное количество для конкретной ставки сложных процентов.