С учетом соотношения (10) можно получить для линии передачи с двумя одинаковыми проводниками следующее выражение для собственных волн [7]:
, (11)
,
Собственные волны симметричной двухпроводной линии передачи принято называть четной и нечетной.
Можно также получить выражения для собственных волн симметричной линии передачи с тремя одинаковыми проводниками. Для такой структуры справедливы следующие соотношения:
,
, (12)
.
Для определения характеристических сопротивлений собственных волн можно воспользоваться следующими качественными соображениями. Поясним их на примере линии передачи с двумя проводниками. Ее поперечное сечение показано на рис. 8. Ленточные металлические проводники размещены на поверхности цилиндра диаметра . Они имеют ширину , а расстояние между ними равно . Как правило, между параметрами линии передачи выполняются следующие соотношения:
. (13)
Благодаря неравенству (13) влиянием кривизны цилиндрической поверхности можно пренебречь и считать ее локально плоской. Тогда в силу симметрии структуры относительно горизонтальной плоскости, проходящей через ось цилиндра, в ней можно расположить идеально проводящую стенку и рассматривать новую структуру, которая представляет собой две металлические полоски, расположенные на расстоянии над поверхностью металлического проводника.
Рис. 8. Поперечное сечение многопроводной линии передачи
Волны такой двухпроводной микрополосковой линии с воздушной подложкой хорошо изучены [8]. Одна из них - четная волна - соответствует размещению между полосковыми проводниками магнитной стенки, а другая - нечетная волна - электрической. Для характеристических сопротивлений четной и нечетной волн получены приближенные формулы [7]. Их точность адекватна уровню строгости феноменологической модели.
Рассмотрим далее численные примеры использования феноменологической модели. В качестве первого шага изучим частотные зависимости действительной и мнимой частей входного сопротивления КСА с одпроводными СИ. Антенна имеет следующие параметры: =13, =2, =50. Сопротивления были взяты равными 5 и 7000 Ом соответственно. Выбор этих параметров будет обсуждаться ниже. Все размеры здесь и далее приводятся в миллиметрах.
На рис. 9 кривые 1 и 2 соответствуют частотным зависимостям и . Видно, что кривые имеют три характерные точки. Две из них соответствуют параллельным резонансам при =0 и =3 ГГц, а одна последовательному резонансу при =1.5 ГГц. На частотах параллельных резонансов активная часть входного сопротивления антенны сильно растет, а на последовательном резонансе, наоборот становится весьма малой величиной. В рассматриваемом примере она составляет примерно 10 Ом. Видно, что спектр собственных частот КСА эквидистантный. Он соответствует спектру четвертьволнового резонатора. Рабочим колебанием является последовательный резонанс с частотой .
Рис. 9. Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволновой КСА с однопроводными СИ
Выбор параметров в рамках феноменологической модели сделать невозможно. Они описывают потери на излучение в свободное пространство и определяют значение активной части входного сопротивления на резонансной частоте. Для определения сопротивлений нужно задаться указанным значением входного сопротивления, которое может быть найдено из более точной модели КСА, например, полученной путем численного решения электродинамической задачи.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что активная часть входного сопротивления КСА имеет недостаточное значение, равное 10 Ом. Рассмотрим теперь КСА со СИ, выполненными из двух проводников. Расстояние между ними равно 2, также пусть =0. На рис. 10 показаны частотные зависимости сопротивлений и , которым соответствуют кривые 1 и 2.
Рис. 10. Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволновой КСА с двухпроводными СИ
Из рис. 10 видно, что КСА со СИ из двух проводников имеет неэквидистантный спектр собственных частот. Частоты параллельных резонансов сдвинулись к частоте . Благодаря этому сопротивление на этой частоте возросло и равно теперь примерно 30. Положение частот параллельных резонансов и, соответственно, величина действительной части входного сопротивления на частоте зависят от параметров и .
На рис. 11 показана зависимость сопротивления на частоте последовательного резонанса от ширины проводника . Кривые 1 - 5 соответствуют =2,1.5,1,0.5,0.1. Видно, что выбором значений и мы можем добиться равенства сопротивления стандартному значению 50 Ом.
Рис. 11. Зависимость действительной части входного импеданса четвертьволновой КСА с двухпроводными СИ от ширины проводника при разных расстояниях между проводниками
Использование трехпроводной линии позволяет осуществлять преобразование входного сопротивления антенны в еще больших пределах, чем в рассмотренном выше случае. Сопротивления в рассматриваемом численном примере равны 1 и 40000 Ом, что соответствует входному сопротивлению КСА на частоте , равному 2 Ом.
Частотные зависимости импедансов и в данном случае качественно мало отличаются от представленных на рис. 10. Частоты параллельных резонансов приближены к частоте в еще большей степени, чем в КСА с двухпроводными СИ. За счет этого степень преобразования входного сопротивления увеличивается. В этом можно убедиться, анализируя рис. 12, на котором показана зависимость параметра от ширины проводника при разных расстояниях между проводниками. Кривые 1 - 5 соответствуют =1.5, 2, 2.5, 3, 3.5.
Рис. 12. Зависимость действительной части входного импеданса четвертьволновой КСА с трехпроводными СИ от ширины проводников при разных расстояниях между ними
Функционирование КСА с двух- и трехпроводными СИ отличается также шириной полосы согласования антенны. На рис. 13 показаны частотные зависимости модуля коэффициента отражения от входа КСА. Кривая 1 соответствует двухпроводному СИ, а кривая 2 трехпроводному. При этом параметры были одинаковыми для обоих типов СИ. Они создавали входное сопротивление исходной однопроводной КСА, равное 10 Ом. Таким образом, сравниваемые антенны находятся в одинаковых условиях. Тем не менее, из рис. 13 видно, что полоса согласования КСА с трехпроводными СИ шире, чем при использовании СИ из двух проводников.
Рис. 13. Частотная зависимость модуля коэффициента отражения КСА с двух- и трехпроводными СИ
5. Феноменологическая модель полуволновой КСА с многопроводными СИ
Полуволновая КСА с двухпроводными СИ показана на рис. 14. В общем случае число проводников, формирующих СИ на участке, примыкающем к точке соединения СИ со схемой питания () может равняться . Длина многопроводной линии передачи равна . На участке СИ имеет один проводник. Его длина равна .
Принципы работы полуволновой и четвертьволновой КСА отличаются друг от друга. В полуволновой КСА используется идея смещения точки возбуждения СИ. В КСА с однопроводными СИ (рис. 1 б) точка возбуждения располагается в начале СИ. Основание антенны играет роль короткозамыкателя, который имеет сравнительно небольшое активное сопротивление. Противоположные концы СИ замкнуты друг на друга перемычками, которые также можно рассматривать в качестве нагрузок с малым сопротивлением. Поскольку они расположены на расстоянии, близком к от точки возбуждения, то их входное сопротивление, пересчитанное к этой точке, мало. Величину активной части входного сопротивления можно регулировать только изменением диаметра КСА, от которого зависит излучательная способность короткозамыкающих структур.
Рис. 14. Полуволновая КСА с двухпроводными СИ
Многопроводная линия передачи необходима для смещения точки возбуждения СИ на расстояние . Ток, текущий вдоль СИ распределен аналогично току в полуволновом резонаторе. Он имеет максимумы на краях и равен нулю в центре СИ. Поэтому, смещая точку возбуждения, мы получаем возможность в широких пределах менять входное сопротивление КСА, равное отношению напряжения источника к току.
В рамках феноменологической модели будем рассматривать эквивалентную схему КСА, показанную на рис. 15. Она может быть получена в рамках допущений, аналогичных принятым при анализе эквивалентной схемы четвертьволновой КСА (см. рис. 7).
Рис. 15. Эквивалентная схема полуволновой КСА с многопроводными СИ
Сопротивления так же, как и раньше, вводятся для описания излучения электромагнитной энергии с концов СИ. Сопротивления , описывают излучение с концов многопроводной линии. Если в случае четвертьволновой КСА сопротивление было малой величиной, а большой, то сейчас оба сопротивления малы, так как они описывают свойства короткозамыкающих перемычек (в случае в роли такой перемычки выступает основание антенны). Параметры , наоборот, являются большими величинами, так как они соответствуют нагрузкам, близким к холостому ходу.
Анализ КСА проводим аналогично рассмотренному выше случаю, используя собственные волны многопроводной линии передачи. На участке , который назовем областью 1, напряжения и токи в проводниках описываются соотношениями (4). На участке мы имеем однопроводную линию передачи, напряжение и ток в которой записываются аналогичным образом:
, (14)
,
где - амплитуды волн в линии передачи, - ее характеристическая проводимость.
Граничные условия для напряжений и токов при для полуволновой КСА не отличаются от граничных условий (7). Для вывода условий в сечении удобно воспользоваться формулой для входного сопротивления нагруженного отрезка линии передачи (8) и заменить отрезок однопроводной линии передачи сопротивлением, включенным в сечении между выходом проводника с и общим проводником.
После замены отрезка линии передачи сопротивлением мы можем записать граничные условия аналогичные условиям (9):
, (15)
,
.
Подставляя в соотношение (15) выражения для токов и напряжений (4), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения амплитуд собственных волн:
(16)
Систему (16) необходимо решать совместно с системой (7).
Рассмотрим далее результаты численного исследования полуволновой КСА с помощью феноменологической модели. На рис. 16 представлены частотные зависимости действительной и мнимой частей входного сопротивления КСА с однопроводными СИ. Им соответствуют кривые 1 и 2.
Графики построены для , , , , . Видно, что КСА имеет два параллельных резонанса на частотах 0.75 и 2.25 ГГц и последовательный резонанс на частоте 1.5 ГГц. Действительная часть входного импеданса на частоте 1.5 ГГц равна 5 Ом. Низкое значение сопротивления приводит к недопустимо большому коэффициенту отражения от входа антенны, возбуждаемой линией передачи с характеристическим импедансом в 50 Ом.
Рис. 16. Частотная зависимость входного сопротивления полуволновой КСА с однопроводными СИ
Рис. 17. Частотная зависимость входного сопротивления полуволновой КСА с двухпроводными СИ
Качественно оценить влияние второго проводника СИ длиной можно, анализируя рис. 17, на котором представлены частотные зависимости входных сопротивлений КСА и . Кривые 1 и 2 соответствуют действительной и мнимой частям импеданса. Они получены при и =45. Из рис. 17 видно, что использование двухпроводного СИ приводит к появлению дополнительного параллельного резонанса в окрестности частоты 1.5 ГГц. Благодаря этому действительная часть входного сопротивления имеет всплеск в этом диапазоне, причем его величина зависит от длины .
На рис. 18 показаны зависимости от длины параметров и (кривые 1 и 2 соответственно) на частоте параллельного резонанса . Также на рис. 19 показана зависимость резонансной частоты от параметра . Отметим, что частота определялась как частота, на которой сопротивление достигает максимума.
Рис. 18. Зависимость входного импеданса полуволновой КСА с двухпроводными СИ от параметра
Из рис. 18 видно, что функция имеет минимум при , причем в точке минимума =0. При удалении от экстремума действительная часть входного сопротивления быстро растет и совпадает со стандартным значением в 50 Ом в двух точках. В одной из них , а в другой . Наличие точки с нулевым значением можно легко объяснить следующим образом. Исходная КСА с однопроводными СИ представляет собой закороченный с двух сторон полуволновый резонатор. Токи, текущие вдоль проводников такого резонатора, обращаются в нуль в середине проводника. Поэтому входное сопротивление КСА в этой точке равно бесконечности. В КСА с двухпроводными СИ длиной мы подключаемся к антенне в точке бесконечным сопротивлением. Это сопротивление затем пересчитывается ко входу через четвертьволновый отрезок двухпроводной линии передачи, что приводит к инверсии входного сопротивления, которое на входе становится равным нулю.
Мнимая часть входного сопротивления обращается в нуль при . Она положительна при и отрицательна при . Назовем значение мнимой части сопротивления на резонансной частоте остаточной реактивностью.
Обращает на себя внимание довольно сильная зависимость резонансной частоты от длины (см. рис. 19). Снижение частоты при может быть использовано для уменьшения размеров антенны.
Рис. 19. Зависимость резонансной частоты полуволновой КСА от параметра
На рис. 20 показана частотная зависимость модуля коэффициента отражения от входа КСА, полученная для антенны с параметрами указанными выше. Длина многопроводной линии передачи равна 45.5. С помощью графика на рис. 20 можно оценить полосу согласования антенны. Если взять в качестве критерия согласования условие , соответствующее коэффициенту стоячей волны, меньшему 3, то мы получим полосу , равную 106 МГц.