Материал: Могилев А.В. Информатика
621
нарно движущемся по трубе потоке жидкости? На рис. 7.24 дан (схематически) ответ на послед-
ний вопрос: чем ближе к стенке трубы, тем меньше скорость из-за естественной вязкости жидко-
сти и трения о стенку трубы. Качественно понять указанную закономерность можно, вероятно, без
всяких уравнений, но определить профиль скоростей, т.е. форму огибающей векторов скорости
без математического моделирования невозможно. Таких задач, представляющих огромный прак-
тический интерес, очень много, а связанные с их решением математические проблемы столь
сложны, что чаще всего соответствующее математическое моделирование может быть реализова-
но лишь на компьютере.
Рис. 7.24.
Распределение скоростей в потоке жидкости, движущейся в трубе
Как правило, еще сложнее решение динамических задач. Если электрическое поле создает-
ся движущимися зарядами, то определить, как оно меняется во времени в каждой точке простран-
ства - задача очень непростая. Не менее трудно определить эволюцию скорости в разных местах в
жидкости, если в некотором месте пульсирует давление; изменения значений температуры в раз-
ных точках некоторого тела, которое подогревают изнутри
или извне от источников тепла, интен-
сивность которых изменяется со временем.
Подобные задачи привлекают неослабевающее внимание физиков, научных работников
смежных областей, инженеров уже не менее 200 лет. Практическая необходимость в их решении
велика; без этого не спроектировать ни современных технических устройств и механизмов, ни
строений, ни космических аппаратов, ни многого другого. Главный способ решения таких задач -
математическое моделирование. Любопытно, что и сами компьютеры, и входящие в них микро-
элементы невозможно спроектировать без оценок электрических полей и потоков тепла от этих
устройств.
Поскольку математический аппарат такого моделирования бывает весьма сложен, мы огра-
ничимся лишь двумя относительно простыми задачами, в которых отражается часть общих зако-
номерностей. Одна из них - статическая, другая -динамическая.
Распределение электростатического поля
. Что стоит за электрической (кулоновской) си-
лой, заставляющей двигаться заряженную частицу
q
?
–
Ответ хорошо известен: электрическое по-
ле
E
,
существующее в каждой точке пространства, созданное другими заряженными телами (ко-
торые будем считать неподвижными). Если это поле создается одним точечным зарядом
Q,
то ве-
личина напряженности поля зависит от расстояния
r
от
Q
до данной точки пространства:
2
0
4
1
r
Q
E
,
ее направление - по радиусу от заряда (если
Q
положителен). Поле это существует
совершенно независимо от «пробного» заряда
q
и может рассматриваться как сплошная среда.
Существуют две взаимосвязаные характеристики электрического поля: напряженность
E
(вектор-
ная характеристика) и потенциал
φ -
скалярная. Для поля точечного заряда
r
Q
0
4
1
.
Если поле создано не одним, а несколькими зарядами, то напряженность и потенциал в ка-
ждой точке можно найти из известного принципа суперпозиции:
где
i
E
и
φ
i
создаются в этой точке
i
-м зарядом, рис. 7.25. По отношению к
E
принцип суперпози-
ции означает необходимость векторного сложения, к
φ
— «обычного» (с учетом знаков отдельных
потенциалов).
Зная потенциал в каждой точке поля, т.е. функцию Ф
= φ (х, у, z),
можно найти напряжен-
ность в каждой точке чисто математическим путем, отражающим тот факт, что проекция вектора
622
напряженности на любое направление есть скорость изменения потенциала в этом направлении:
(7.43)
Рис. 7.25.
Нахождение напряженности электрического поля по принципу суперпозиции
Частным случаем (7.43) являются формулы
r
r
Q
E
3
0
4
1
и
r
Q
0
4
1
для одного то-
чечного заряда. Действительно, фиксируем некоторую точку
А
поля на расстоянии
r
от заряда
Q
и
введем локальную систему координат с центром в
А;
у этой системы ось
r
является продолжением
радиуса-вектора
r
, а две другие оси
–х
и
у -
перпендикулярны к ней. Примем, что
r
Q
A
0
4
1
,
и
найдем
A
E
,
опираясь на формулы (7.43). Поскольку
φ
A
от
х
и
у
не зависит, то
x
A
=
0,
y
A
= 0, а
таким образом,
2
0
4
1
,
0
,
0
r
Q
E
A
-
т.е. мы пришли к известному результату о величине и на-
правлении поля, созданного точечным зарядом.
Расчет электрического поля - важная в прикладном плане задача. В реальных конструкциях
поле создается не одним-двумя точечными зарядами, а достаточно причудливо расположенными в
пространстве заряженными телами самых разнообразных форм: пластины, плоские и изогнутые;
штыри; правильные и деформированные сфероиды и т.д. Для инженера и научного работника
важно иметь наглядную картину поля, изображенного некоторым условным образом. Самое не-
удобное изображение, почти не используемое - нарисовать много стрелок, соответствующих на-
пряженности поля в разных точках, так, чтобы длины стрелок были пропорциональны напряжен-
ностям. Такой рисунок является громоздким, стрелки на нем пересекаются, мелкие детали вы-
явить трудно. Есть два классических способа для наглядного изображения поля: поверхностями
(или линиями) равного потенциала и силовыми линиями поля.
Можно доказать, что для любого электростатического поля множество точек, потенциал в
которых одинаков, т.е. точек, удовлетворяющих уравнению
φ (х, у, г)
=
φ
0
,
при любом
φ
0
образует
замкнутую поверхность (так называемую, эквипотенциальную поверхность). Для одного точечно-
го заряда это сфера; в общем случае эта поверхность может быть очень сложной. Для многих тех-
нических приложений знать форму таких поверхностей просто необходимо - например, чтобы,
располагая детали конструкции, избежать между ними большой разности потенциалов. Линии
равного потенциала являются сечениями поверхности равного потенциала той плоскостью, в ко-
торой строится изображение.
Силовые линии, как известно из любого учебника физики, есть такие линии, касательные к
которым в каждой точке задают направление вектора напряженности поля. Силовые линии нико-
гда не пересекаются между собой. Они начинаются на положительных зарядах и либо заканчива-
ются на отрицательных, либо уходят «на бесконечность». По обычному соглашению число сило-
623
вых линий, исходящих
из
точечного заряда, пропорционально величине этого заряда; коэффици-
ент пропорциональности выбирается таким, чтобы изображение было легко читаемым.
Обсудим практический метод построения картины поверхностей равного потенциала для
системы, состоящей из нескольких точечных зарядов произвольной величины и знака, любым
способом расположенных в пространстве. Введем некоторую систему координат, начало которой
удобнее расположить в «пустой» точке, т.е. ни на одном из зарядов. Пусть в этой системе коорди-
наты зарядов имеют значения
j
r
=
(х
j
,у
j
,z
j
), j=
1,2,
...р,
где
р -
число зарядов.
Поскольку изображать трехмерные поверхности - дело достаточно сложное, рассмотрим
вначале построение линий равного потенциала (изолиний), образованных сечением поверхности
равного потенциала некоторой плоскостью; пусть, для определенности, это будет плоскость л'}'.
Воспользуемся методом сеток, играющим в моделировании свойств сплошных сред исключитель-
но важную роль.
Выберем по осям
х
и у некоторые шаги
h
x
и
h
y
и покроем плоскость сеткой, образованной
прямыми, параллельными осям
х
и
у
и отстоящими друг от друга на расстояниях
h
x
и
h
y
соответст-
венно. Точки пересечения этих прямых — узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0,
0), следующий по оси
x
вправо - (0, 1), влево - (0, -1); по оси
у
вверх - (1, 0), вниз (-1, 0) и т.д. Зна-
чения потенциала, создаваемого системой зарядов
Q
1
…
Q
p
в узле
(i ,k),
согласно принципу супер-
позиции, таково (обратим внимание, что здесь и ниже
i
- номер строки,
k -
столбца сетки):
Ограничимся прямоугольной областью в плоскости
ху: [-mh
x
, mh
x
]
по оси
х
и
[-nh
y
, nh
y
]
по
оси
у.
В этой области (2
m
+ l) ∙ (2
n
+ l) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по
указанным формулам; для ЭВМ эта задача совершенно элементарна, даже если
т
и
n
составляют
несколько десятков или сотен. В результате получим матрицу значений потенциала.
Фиксируем некоторое значение потенциала Ф и построим изолинию, соответствующую
этому значению. Для этого проходим, к примеру, по
i
-ой горизонтальной линии сетки и ищем сре-
ди ее узлов такие соседние, значения потенциала в которых «захватывают» Ф между собой; при-
знаком этого
может служить выполнение неравенства
Если такая пара узлов найдена, то координату
точки, в которой Ф = Ф , найдем приближен-
но с помощью линейной интерполяции:
(7.44)
Найдя в данной горизонтали все такие точки, переходим к следующей горизонтали, пока не
исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле пе-
ребирать
i
от
-п
до
+п, во
внутреннем перебирать
k
от -
т
до
+т.
После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикальных линиях сет-
ки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (7.44), имеют вид:
(7.45)
После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те
точки на этих линиях, в которых потенциал равен
Ф
~ . Проведя — мысленно или на бумаге — кри-
вую, плавно проходящую через ближайшие точки, получаем искомую изолинию (разумеется лишь
в том случае, если значение
Ф
~
выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой
области). Затем берем другие значения
Ф
~
и повторяем указанную процедуру, получая таким обра-
зом семейство изолиний.
Приведенная ниже программа реализует указанные построения. Предполагается, что все
заряды лежат в одной плоскости, и изолинии строятся тоже лишь в этой плоскости.
624
Программа 149.
Программа построения линий равного потенциала.
Program Potential;
Uses Crt, Graph;
Const N = 100; (Размер сетки NxN}
Var X, У, Q, G : Array[1..10] Of Real; F : Array[0..N, 0..N] Of Real;
I, J, M, L, K: Integer; A, B, R: Real;
Begin
WriteLn('Сколько зарядов? (не более 10)'); ReadLn(K);
Write('Ведите координаты x, у и величины зарядов q');
WriteLn('(координаты - в диапазоне 0-1)');
For I := 1 То К Do
Begin Write('х[', I, ']=');
ReadLn(X[I]); Write('y[', I, ']='); ReadLn(Y(I]);
Write('q[', I, ']= '); ReadLn(Q[I])
End;
For I := 0 To N Do
For J := 0 To N Do
For M := 1 To K Do
Begin
R := Sqrt(Sqr(I / N - X[M]) + Sqr(J / N - Y[M]));
If R>=1E-6 Then F(I,J]:= F(I,J]+Q[M]/R Else F[I,J]:=1E+8
End;
Write('Сколько построить изолиний? (не более 10)'); ReadLn(L);
WriteLn('Введите значения потенциала g для построения изолиний');
For I := 1 То L Do
Begin Write ('g[', I, ']='); ReadLn(G(I]) End;
DetectGraph(I, J); InitGraph(I, J, ");
For I := 1 To К Do
Begin
A := X[I] * GetMaxX; В := (1 - Y[I]) * GetMaxY;
Circle(Round(A), Round(B), 4); FloodFill(Round(A), Round(B),
GetColor) ;
End;
For M := 1 To L Do
Begin
B := G[M]; SetColor(M);
For I := 0 To N Do
For J := 0 To N - 1 Do
If (F[I, J] - B) * (F[I, J + 1] - В) < О
Then Begin
A:=(J+(B-F[I,J])/(F[I,J+1]-F[I,J]))/N;
Circle(Round;I/N*GetMaxX), Round((1-A)*GetMaxY), 1)
End;
For J := 0 To N Do
For I := 0 To N - 1 Do
If (F[I, J] - B) * (F[I + 1, J] - В) < 0
Then Begin
A:=(I+(B-F[I,J])/(F[I+1,J]-F[I,J]))/N;
Circle(Round(A*GetMaxX), Round((1-
J/N)*GetMaxY), 1)
End
End;
SetColor(15); OutTextXY(10, 50, 'для продолжения нажмите любую клавишу');
Repeat Until KeyPressed; CloseGraph;
End.
Несколько примеров использования этой программы приведены на рис. 7.26, 7.27.
625
Рис. 7.26.
Поле создано семью зарядами
q
1
= q
2
= q
3
= q
4
=
1
, q
5
= q
6
= q
7
=
-1
,
имеющими соот-
ветственно координаты (0,2;0,2), (0,8;0,8), (0,2;0,8), (0,8;0,2), (0,2;0,5), (0,5;0,5), (0,8;0,5). Изолинии
построены для потенциалов -4,
-3, -2, -1,0, 1, 2, 3,4
Рис. 7.27.
Поле создано пятью зарядами
q
1
=
1,
q
2
= -2, q
3
= 2, q
4
= -3, q
5
=
1, имеющими соответ-
ственно координаты (0,3; 0,75), (0,2; 0,5), (0,7; 0,2), (0,5; 0,9), (0,5; 0,5). Изолинии построены для
потенциалов -4, -3, -2, -1,0, 1, 2, 3,4
Оставим технические вопросы на самостоятельное решение и обсудим некоторые принци-
пиальные. Допустим, между двумя ближайшими узлами выполняется записанное выше неравен-
ство - означает ли это, что между ними действительно лежит
одна
точка, в которой Ф =
Ф
~ ? Отве-
тить нетрудно: да, если потенциал между этими узлами меняется монотонно. Если же узлы столь
редки (т.е.
h
x
и (или)
h
y
слишком велики), что потенциал между соседними узлами меняется немо-
нотонно, то числа, полученные по формулам (6.44), (6.45), не имеют практически никакого отно-
шения к реальным точкам, в которых Ф =
Ф
~ ; это утверждение проиллюстрировано рис. 7.28.
Очевидно, что для получения изолиний следует брать достаточно малые
h
x
и
h
y
.
Проверка
достоверности (эмпирическая) состоит в том, что строится картина изолиний с некоторыми
h
x
и
h
y
(часто берут
h
x
=
h
y
)
,
а затем с вдвое меньшими значениями; если картины близки, то построение
на этом завершается.
Даже если все заряды лежат в одной плоскости (как это было на рис. 7.26 и 7.27), поле су-
ществует, конечно, и вне этой плоскости. Один из способов наглядного построения изображения
поля - найти изолинии, соответствующие некоторому фиксированному набору значений Ф; в не-