Материал: Могилев А.В. Информатика
626
скольких параллельных плоскостях и представить их на общем рисунке, дающем представление о
поверхностях равного потенциала. Для этого программу, приведенную выше, следует слегка до-
полнить.
Метод сеток в разных задачах физики сплошных сред принимает разное обличие; еще один
пример впереди. Однако, во всех случаях за ним скрыта общая идея, обладающая большой позна-
вательной силой - идея дискретизации, т.е. представления непрерывной величины, имеющей бес-
конечно много значений, отдельными порциями, описываемыми конечным набором значений. Эта
идея продуктивна
не
только в физике, но и в прикладной математике, информатике, других нау-
ках.
Рис. 7.28
На верхнем рисунке
α
- точка, в которой Ф = Ф
0
.
β ≈ α
- найдено линейной интерполяци-
ей. На нижнем рисунке точек, в которых Ф = Ф
0
, много;
β
формально найдено линейной интерпо-
ляцией
Для построения силовых линии поля можно поступить следующим образом. Выберем не-
которую точку с координатами
(α
0
, β
0
, γ
0
) и найдем в ней напряженность поля
по правилу суперпозиции
(7.46)
где
Проведем мысленно в точке
(α
0
, β
0
, γ
0
) касательную к
0
Е
и возьмем вдоль нее небольшой
отрезок длины
h
, начинающийся в
0
Е
; координаты конца отрезка
(7.47)
Тем самым получаем координаты точки
А',
лежащей на касательной к силовой линии (вме-
сто точки
А,
лежащей на самой линии) Если
h
мало, то
А'
близко к
А.
Далее, отправляясь от
А',
найдем по той же схеме следующую точку
В'
вблизи силовой линии и т.д. Ломаная
OA'B''...
при-
близительно передает силовую линию. Построение целесообразно начать вблизи какого-нибудь
положительного заряда (если он есть) и закончить тогда, когда силовая линия подойдет вплотную
к отрицательному заряду или уйдет «на бесконечность».
Построение картины силовых линий, дающих представление о поле - дело неформальное,
требующее понимания физической сущности. Два семейства взаимно перпендикулярных линий -
равного потенциала и силовых - дают весьма наглядную и исчерпывающую характеристику элек-
тростатического поля.
627
Учитывая трудности визуализации трехмерных изображений, целесообразно ограничиться
(по крайней мере вначале) рассмотрением ситуаций, когда все заряды лежат в одной плоскости;
тогда силовая линия, начинающаяся из любой точки данной плоскости, из этой плоскости не вый-
дет, и получится легко воспринимаемая картина.
Способ получения формул (7.47) есть частный случай приема линеаризации -сведения
сложной зависимости к простейшей линейной для малых расстояний (или времен). Это мощней-
ший прием в моделировании физических процессов и в построении многих методов численного
анализа. Фактически он лежит в основе дифференциального исчисления - само понятие производ-
ной возникает при линеаризации функции.
3.9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
То, что тела могут проводить тепло, общеизвестно. Если один из концов длинного стержня
поместить в костер, то, если стержень сделан не из горючего или легко плавящегося материала,
другой конец через некоторое время тоже нагреется; как быстро и насколько - зависит от материа-
ла, размеров стержня и других факторов. Процесс теплопроводности - один из, так называемых,
процессов тепломассопереноса, играющих огромную роль в природе и в технике. Другие процес-
сы такого рода - диффузия, благодаря которой смешиваются разные жидкости или газы, процессы
гидро- и аэродинамики (т.е. переноса (движения) жидкостей и газов).
Хотя каждый из
таких процессов имеет собственные закономерности, между
ними много
общего.
Эти процессы происходят в сплошной среде, о которой шла речь выше; при их математи-
ческом моделировании используется один и тот
же
математический аппарат-дифференциальные
уравнения в частных производных.
Ограничимся одной из самых простых задач данного класса - переносом тепла в однород-
ном стержне. Рассмотрим линейный стержень, боковая поверхность которого не проводит тепла
(теплонзолирована). Если в начальный момент стержень неравномерно нагрет, то в нем будет
происходить перераспределение тепла; при отсутствии внутренних источников тепла его темпера-
тура, в конце концов, выровняется.
Поскольку стержень линеен и однороден, то распределение температуры в пространстве
характеризуется одной координатой
x
.
Температура (обозначим ее
u
) зависит от
х;
кроме того, она может меняться
со
временем,
т.е. является функций двух переменных
и(х, t).
Изменение этой функции вдоль стержня, «ско-
рость» которого определяется производной пол
x
, и изменение ее со временем, скорость которого
определяется производной по
t
, взаимосвязаны
и,
как будет показано ниже, входят в одно уравне-
ние.
Уравнение теплопроводности.
Получим уравнение, описывающее процесс изменения
температуры в стержне. Фиксируем некоторую точку
x
0
(рис. 7.29) и выделим около нее малый
участок стержня длиной
Δx
. Искомое уравнение есть по существу уравнение теплового баланса
(т.е. сохранения энергии): изменение количества тепла в избранном участке стержня за счет при-
тока и (или) оттока его через два сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в
соответствии с его теплоемкостью. Выразим все это математическим языком.
Рис. 7.29.
Участок линейного стержня
Количество тепла, проходящее через поперечное сечение стержня в точке
x
0
за время
Δt
,
пропорционально площади поперечного сечения
S,
градиенту температуры
x
u
и промежутку
времени
Δt
:
Q
~
t
x
u
S
, рис. 7.30. Если с
S
и
Δt
все очевидно, то появление производной
x
u
628
требует пояснении. За ней стоит тот экспериментальный факт, что поток тепла
ΔQ,
через некото-
рый участок стержня длиной
Δх
тем больше, чем больше разность температур
(|и
1
|
-
|
u
2
|) на его
концах и чем меньше расстояние
Δх
:
Вводя коэффициент пропорциональности
k,
называемый коэффициентом теплопроводно-
сти, получаем
Значение
k
определяется материалом стержня и для нескольких материалов приведено в
табл. 7.6 (в единицах системы СИ:
К
м
Вт
).
Таким образом, различия в теплопроводности разных материалов огромны.
Рис. 7.30.
Поток тепла через участок стержня длиной
Δх
Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в точке
х =
x
0
+
Δx
:. Оно оп-
ределяется, естественно, той же формулой:
с условием, что производная
x
u
берется в точке
х
=
x
0
+
Δх
. Для получения искомого уравнения ее
надо выразить через значение в точке
x
0
.
Таблица 7.6
Значение коэффициента теплопроводности для некоторых материалов
Медь
384
Лед (0° С)
2,23
Асбест
0,4 - 0,8
Алюминий
209
Бетон
0,7 - 0,2
Дерево
0,1 - 0,2
Сталь
47
Кирпич
0,7
Воздух
0,034
Имеем, ограничиваясь первым порядком приращения
Δx
,
в силу чего
Если
через сечения
х
=
х
0
и
х
=
x
0
+
Δx
за время
Δt
прошло разное количество тепла, то та его
часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка
стержня, есть
Пусть за то же время температура участка изменилась на
Δu
; как известно, это связано с из-
менением
ΔQ
соотношением
ΔQ
=
mcΔu
,
где
т -
масса,
с
- удельная теплоемкость. Приравняем два
выражения для
ΔQ:
629
Поскольку массу можно представить как
т
=
ρ∙S∙Δx
(ρ -
плотность вещества), то, поделив
обе части уравнения на
Δt
и перейдя к пределу при
Δt
→
0, получим
(7.48)
Это - основное уравнение теплопроводности для однородного стержня.
Как следует из про-
цедуры вывода, это уравнение локально, т.е.
в данный момент времени и в данной точке выражает
закон сохранения энергии.
В уравнение (7.48) входят три постоянные, характеризующие вещество. Удобно объединить
их в одну, переписав уравнение в виде
(7.49)
где
c
k
a
-
так называемый, коэффициент температуропроводности. Обозначение
а
2
в (7.49)
удобно, так
как фиксирует знак этого коэффициента - он всегда положителен.
Уравнение (7.49) - одно из самых простых дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. Несмотря на его элементарный вид, решение такого уравнения даже в простейшей ситуа-
ции есть весьма сложная задача.
Уравнение теплопроводности в трехмерном случае.
Описанный выше вывод уравнения
теплопроводности достаточно элементарен. Рассмотрим вывод уравнения теплопроводности в
трехмерном случае, используя более общий аппарат математического анализа.
Рис. 7.31.
Иллюстрация к выводу уравнения теплопроводности в трехмерном случае
Рассмотрим некоторое тело (
V
), ограниченное поверхностью (
S
) (рис. 7.31). Закон сохране-
ния энергии должен выполняться для любой части тела (
V
). По этому закону скорость изменения
энергии в теле равна потокуэнергии через его границу. Имеем для энергии в объеме
V
где
ε ( r
, t) -
объемная плотность энергии.
Поток энергии через границу тела
S
равен
q
-
поток энергии. В этих формулах фигурируют тройной и поверхностный (первого рода) инте-
гралы. Закон сохранения энергии (интегральный) примет вид
Применяя к правой части теорему Остроградского- Гаусса, получаем
Поскольку это соотношение должно выполняться для любой части тела
(V),
то необходимо
и достаточно, чтобы в любой точке
r
и в любое мгновение
t
имело место равенство нулю подын-
тегрального выражения. Учитывая, что плотность энергии
ε ( r
, t)
пропорциональна температуре
тела, а поток энергии пропорционален градиенту температуры, получаем (опуская детали) уравне-
630
ние
(7.50)
где
и
=
u ( r
, t) -
температура в точке
r
в момент
t.
Уравнение (7.50) является трехмерным анало-
гом уравнения (7.49).
Далее будет продолжено лишь рассмотрение задачи о теплопроводности в стержне.
Начальные и краевые условия.
Уравнения (7.49), (7.50) описывают процесс изменения
температуры тела (перенос тепла) во времени и в пространстве. Ясно, что для отслеживания тако-
го процесса надо знать распределение температуры в теле в некоторый начальный момент време-
ни:
(7.51)
где
f(x)
- заданная функция. Кроме того, в тех местах, где возможен теплообмен с окружающей
средой, надо знать условия этого теплообмена. Для стержня с теплоизолированной боковой по-
верхностью такими местами являются концы. Пусть длина стержня
l
; если один конец имеет коор-
динату
x
= 0,
а
.
другой -
x
=
l
, то простейший вариант краевых условий - постоянная (но не обяза-
тельно одинаковая) температура на каждом конце стержня:
Нижеследующее утверждение физически очевидно, но его строгое математическое доказа-
тельство весьма непросто:
дифференциальное уравнение (7.49) при начальном условии (7.51) и
краевых условиях (7.52) имеет единственное решение.
Аналитические методы решения задачи одномерной теплопроводности существуют, но
требуют значительной математической подготовки, к тому же решение обычно получается в виде
ряда Фурье, и по его виду протекание процесса неочевидно. В двух- и трехмерном случаях анали-
тическое решение чаще всего получить не удается (по крайней мере, в практически полезном ви-
де). Как и всюду в этой главе, ниже мы используем простейшие численные методы его решения.
Вначале, однако, приведем графические результаты решений простейших задач (заимствованные
из книги И.Г.Арамановича и В.И.Левина «Уравнения математической физики», Москва, 1969),
способствующие пониманию рассматриваемой проблемы.
Пример 1. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торце-
вых сечения теплоизолированы, а начальная температура распределена по следующему закону:
Графики температуры построены в некоторые последовательные моменты времени, рис.
7.32. При любом
t
> 0 график симметричен относительно точки
2
,
2
0
u
l
.
Теплоизоляция концов стержня находит свое выражение в том, что кривые распределения
температуры имеют горизонтальные касательные при
x
= 0 и
х = l.
Из физических соображений
ясно, что при
t → ∞
u →uo/2.
Рис. 7.32.
Графическая иллюстрация решения задачи из примера 1