Отсюда следует, что неподвижная стенка теплоизолирована: qr = 0. Своеобразие поведения теплового потока и источника энергии обсудим на примере варианта 1. Расчеты показывают, что в холодной области происходит объемное выделение энергии ; тепловой поток отводится от жидкости через подвижную стенку, . В горячей области происходит объемный сток энергии , ; тепловой поток поступает в область течения через подвижную стенку, . Для варианта 2 в горячей области ; тепловой поток поступает в жидкость через подвижную стенку, q(r = r2) > 0. В холодной области qv (е, r = r0) > 0, qv(е, r = r2) > 0; тепловой поток отводится от подвижной стенки, q(r = r2) < 0. Рассмотрим возможность существования линии нулевой завихренности щ = 0:
На неподвижной стенке имеем sin(2a) = 0, cos(2a) = ±1, следовательно, в этом случае (12) не выполняется ни при каком . Таким образом, на неподвижной стенке всегда имеем ненулевую завихренность щ = 0. Разрешив (12) относительно е, находим: щ = 0, если
.
Анализ показывает, что существует подвижная стенка [sin(2a*) = 0], для которой можно указать такое значение е = е*, т.е. такую температуру г = г*, что ш* =0 на этой стенке. Например, . Тогда . Из соображений непрерывности ясно, что можно получить ш = 0 при значениях е, взятых из окрестности е = е*. Данный результат означает, что температура стенки служит управляющим фактором воздействия на завихренность течения.
Приведем здесь (рис. 3, 4, 5) основные итоги численных расчетов в горячей области для вариантов 1 и 3. Для того, чтобы наглядно продемонстрировать тепловые свойства коэффициента сопротивления и объемного источника энергии, трансформируем с помощью (8, 11) исходные выражения (6, 7) к следующему виду, представляющему собой эффективные зависимости Z и qv от температуры:
(u2(r),T(r),r) = fz(г), qv(u2(r),r(r),r) = Qv(г).
Рис. 3 Неизотермическое течение, соответствующее варианту 1; неподвижен внутренний цилиндр: а, б - функциональные связи завихренности с динамическими и тепловыми параметрами; в - температурные свойства коэффициента сопротивления и объемного источника энергии
Рис. 4 Неизотермическое течение между цилиндрами, вращающимися в противоположных направлениях: графики зависимостей гидродинамических и тепловых параметров от радиальной координаты
Рис. 5 Неизотермическое течение между цилиндрами, вращающимися в противоположных направлениях: а -- тепловые свойства завихренности; б -- температурные зависимости коэффициента сопротивления и объемного источника энергии
Обсудим вариант 1 (рис. 3). Из рис. 3а следует, что в данном классе неизотермических течений градиент давления и вязкое напряжение совершенно различным образом воздействуют на завихренность: здесь du/dfrif < 0, а рост dp/dr приводит к возрастанию ш. По отношению к температуре f и модулю теплового потока |f| наблюдается монотонный рост завихренности (рис. 3б). Температурная зависимость стока энергии Qv(f) немонотонная, имеет хорошо выраженный максимум. Вместе с тем dfz/df < 0, что ассоциируется с термовязкой жидкостью, для которой dg(T)/dT < 0: это соответствует вязкости l-типа. Отметим здесь, что для вязкости g-типа выполнено неравенство dg(T)/dT > 0. Эти термины и обозначения (g -- gas, l -- liquid) применяются в метеорологии при изучении стационарных конвективных ячеек в слое воздуха. Библиография данного вопроса приведена в [3].
Результаты расчета варианта 3 представлены на рис. 4, 5. Графики на рис. 4 служат иллюстрацией аналитической структуры гидродинамического и теплового полей, описываемых решением (8). Напомним, что значение r = 1 относится к внутренней границе, которая неподвижна и теплоизолирована; на рис. 5б это состояние отмечено темным кружком. Верхняя ветвь кривой ш(Г) на рис. 5а характеризует внутреннюю (r2 < r < r0) область течения, а нижняя ветвь - внешнюю область (ro < r < ri). Такое же утверждение относится к верхней и нижней ветвям кривой fz(f) на рис. 5б. Для линии Qv(f) на рис. 5б ситуация иная: верхняя/нижняя ветви этой кривой относятся к внешней/внутренней областям. Во внутренней области (вдоль верхней ветви графика функции fz (f)) имеем dfz/df > 0, что соответствует вязкости g-типа. Во внешней области (вдоль нижней ветви графика функции fz(f)) имеем dfz/df < 0, что соответствует вязкости l-типа (рис. 3в). Таким образом, на границе г = 1 наблюдается переключение режимов д о I нелинейного сопротивления жидкости.
Заключение
Новое точное аналитическое решение (8) определяет цилиндрическое течение жидкости при воздействии внешней силы трения и объемного источника энергии. Частный случай (е = 1) этого решения представляет изотермическое движение. Основной результат здесь состоит в том, что при течении в зазоре между неподвижным внутренним и вращающимся внешним цилиндрами наблюдается двузначная зависимость «вязкое касательное напряжение - завихренность». Показано, что в неизотермическом течении существует первый интеграл (11), дающий связь между скоростью и температурой. Получены следующие результаты: 1) обнаружено принципиальное различие между градиентом давления и вязким касательным напряжением по характеру их воздействия на завихренность потока (рис. 3а); 2) установлено, что температура вращающейся стенки может служить управляющим параметром, влияющим на завихренность жидкости; 3) при течении между цилиндрами, вращающимися в противоположных направлениях, наблюдается переключение режимов д о I нелинейного внешнего сопротивления.
Список литературы
1. Андреев В. К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В. В. Современные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. 368 с.
2. Белоцерковский О. М., Опарин А. М., Чечеткин В. М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2003. 286 с.
3. Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.
4. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981. 386 с.
5. Должанский Ф. В. О механических прообразах фундаментальных гидродинамических инвариантов и медленных многообразий // Успехи физических наук. 2005. Т. 175, № 12. С. 1257-1288.
6. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.
7. Картавых А. В., Мильвидский М.Г., Гинкин В.П., Забудько М.А., Науменко О. М. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2004. № 6. С. 91-98.
8. Шабловский О. Н. Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. 2011. Вып. 5. № 32. С. 77-82.
9. Шабловский О. Н. Вихрь скорости и производство энтропии в релаксиру- ющем потоке вязкой жидкости с внутренними источниками // Изв. высш. учеб. заведений и энергетических объединений СНГ. Энергетика. 2011. № 5. С. 55-65.
10. Шабловский О. Н. Нелинейные волновые уравнения и конкуренция источников энергии в двухкомпонентных системах // Фундаментальные физикоматематические проблемы и моделирование технико-технологических систем: сб. науч. тр. М.: Янус-К, 2010. Вып. 13. С. 78-89.
11. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.
References
1. Andreev V. K., Gaponenko Ju.A., Goncharova O.N., Puhnachjov V. V. Sovremennye matematicheskie modeli konvekcii. M.: Fizmatlit, 2008. 368 s.
2. Belocerkovskij O. M., Oparin A. M., Chechjotkin V. M. Turbulentnost': novye podhody. M.: Nauka, 2003. 286 s.
3. Getling A. V. Konvekcija Rjeleja-Benara. M. Jeditorial URSS, 1999. 248 s.
4. Gledzer E. B., Dolzhanskij F. V., Obuhov A. M. Sistemy gidrodinamicheskogo tipa i ih primenenie. M.:Nauka, 1981. 386 s.
5. Dolzhanskij F. V. O mehanicheskih proobrazah fundamental'nyh gidrodina- micheskih invariantov i medlennyh mnogoobrazij // Uspehi fizicheskih nauk. 2005. T. 175, No 12. S. 1257-1288.
6. Drazin F. Vvedenie v teoriju gidrodinamicheskoj ustojchivosti. M.: Fizmatlit. 2005. 288 s.
7. Kartavyh A.V., Mil'vidskij M. G., Ginkin V. P., Zabud'ko M.A., Naumenko
O. M. Klasternaja model' struktury rasplavov v pogransloe i ee gidrodinamiches- koe opisanie pri modelirovanii processov kristallizacii poluprovodnikov v kosmose // Poverhnost'. Rentgenovskie, sinhrotronnye i nejtronnye issledovanija. 2004. No 6.
S. 91-98.
8. Shablovskij O. N. Trigonometricheskij profil' skorosti sdvigovogo techenija vjazkoj zhidkosti // Vestn. Juzhno-Ural'skogo gos. un-ta. Ser. Matematika. Mehanika. Fizika. 2011. Vyp, 5. No 32. S. 77-82.
9. Shablovskij O. N. Vihr' skorosti i proizvodstvo jentropii v relaksirujushhem potoke vjazkoj zhidkosti s vnutrennimi istochnikami // Izv. vyssh. ucheb. zavedenij i jenergeticheskih ob#edinenij SNG. Jenergetika. 2011. No 5. S. 55-65.
10. Shablovskij O.N. Nelinejnye volnovye uravnenija i konkurencija istochnikov jenergii v dvuhkomponentnyh sistemah // Fundamental'nye fiziko-matematicheskie problemy i modelirovanie tehniko-tehnologicheskih sistem: sb. nauch. trudov. M.: Janus-K, 2010. Vyp. 13. S. 78-89.
11. Shlihting G. Teorija pogranichnogo sloja. M.: Nauka, 1974. 712 s.