Непрерывное оптимальное управление в динамических системах
Рассмотрим задачу оптимального управления как задачу регулирования линейной динамической системы с квадратичным функционалом, которую можно решать до конца.
Требуется минимизировать критерий качества
при ограничениях
где, как и прежде ,,
а A, F,Ф,C и R могут быть как постоянные так и переменные матрицы размера , и соответственно. Будем предполагать, что матрица R симметрическая и положительно определённая, а матрицы Ф,С симметрические и положительно полуопределённые .
Не теряя общности , можно положить tиtt=T.
Для задачи (1), (2) канонические условия являются не только необходимыми, но также и достаточными и имеют вид
,
задача динамический управление
Решая (6) относительно u(t) и подставляя решение в (3), находим, что
должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений
, ,
где Отметим , что B- симметрическая и положительно полуопределённая матрица, и кроме этого матрицы С, B, Ф в своей внутренней структуре содержат знак минус, что сделано для удобства дальнейших преобразований.
Пусть для будет матрицей перехода размером
, определяемой уравнением
,
где I - единичная матрица размера
Разобьём матрицу перехода на четыре блока размера каждый :
Тогда для любого
Далее, в силу (9)
и, следовательно, для
при условии, что матрица, обратная к
существует для всех определим матрицу равенством
(получаем и, значит, (7) принимает вид
Далее, из (17) имеем
.
Дифференцирование обеих частей равенства (20) по t даёт
.
Матрица перехода удовлетворяющая сопряжённому дифференциальному уравнению имеет вид
, ,
Разобьём матрицу перехода на четыре блока размером каждый:
После подстановки (23) в (22) и матричного перемножения, получим
Таким образом, с учётом (24) получим из (21) соотношение
=
,
которое после приведения подобных членов и умножения обеих частей на (см.(16)) приводит к уравнению
, . (26)
Выведем из матриц знак минус ( смотри замечание к формулам (7-9)) и введём значение в формулу (26), получим привычный вид матричного дифференциального уравнения типа Риккати :
(27)
, с граничными условиями .
Все векторы и матрицы в значениях (1-27) могут быть как постоянные так и переменные функции зависящие от времени и обладать вполне определёнными внутренними качествами :
фазовый вектор состояния ;
вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых координат;
матрица, представляющая линейный оператор преобразования вектора состояния фазовых координат, в вектор функций, указывающим скорость их изменения ;
матрица стабилизационного преобразования параметров вектора управления в дополнительный вектор функций скорости изменения фазовых координат;
вектор управления;
функция целевого функционала, которая представляет собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления;
матрица формирования целевого терминального граничного условия;
матрица формирования допустимых максимальных значений параметров фазового пространства на интервале интегрирования;
матрица ограничений на параметры управления;
функция Гамильтона , которая определяется как сумма подинтегральной функции целевого функционала и скалярного произведения вектора сопряжённых переменных и вектора функций, указывающих скорость изменения фазовых координат. Эта функция мысленно подразумевается.
начальный момент процесса управления ;
конечный момент процесса управления ;
вектор сопряжённых переменных ;
индекс, указывающий транспонирование матрицы или вектора ;
текущее реальное время процесса управления ;
матрица формирования допустимых оптимальных значений параметров фазового пространства процесса управления на всём интервале интегрирования ;
область допустимых решений ;
Библиографический список
1. Брайсон А., Хо Ю - Ши . Прикладная теория оптимального управления.
- М.: Мир, 1972. - 544 с.
2. Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 1974.- 376 с.
3. Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука,
1971. - 556 с.