Материал: ОиММПР. Лекция 4
Если число экспериментальных данных N достаточно велико, то погрешность
(3) состоятельной оценки θ можно практически считать распределенной нормально
с математическим ожиданием (4), дисперсией D ( |
Θ)=D (Θ)=Dθ |
и средним |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
квадратичным отклонением |
σ ( |
Θ)=σ (Θ)=σθ=√ Dθ . |
При этом выражение (6) имеет |
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
вид: |
~ |
~ |
~ |
2Ф t , |
|
(7) |
|||||||
pд Ф |
~ |
Ф |
~ |
2Ф |
~ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~
где Ф t - функция Лапласа, t= σ~θ .
θ
С помощью этой формулы решается задача определения доверительной
вероятности рд по известным данным ~ ,σ~ .
θ θ
Функция Лапласа |
τ =Ф (t ) |
выражает зависимость |
τ от t . Обратная t=Ф−1 ( τ ) |
|||
выражает зависимость |
t от |
τ . |
При |
~ |
имеем |
|
t= σ~θ , τ = p2д |
|
|||||
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
σ~θ =Ф−1 ( τ ) . |
(8) |
|
|
||
|
|
θ |
|
|
|
|
С помощью формулы (8) и обратной функции Лапласа |
решается задача |
|||||
определения доверительного интервала |
~ по известным рд и σθ |
и необходимого |
||||
числа испытаний по известным рд и |
~ . |
θ |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
θ |
|
|
|
11 из 22
При решении первой задачи согласно (8) определяется ~ .При решении второй
θ
задачи согласно (8) определяется σ~ , а затем N.
θ
Для проведения анализа СП обычно приводят к стандартному виду. Для случая двоичной нуль - единичной последовательности это достигается перекодировкой исходной последовательности в симметричную -1,1- ю последовательность в соответствии с правилом xi(k )=2 x'i (k )−1 .
Здесь xi(k ), x'i(k ) - элементы стандартной и исходной последовательностей соответственно.
Алгоритмы получения эмпирических оценок числовых характеристик,
вероятностей и законов распределения случайных последовательностей и анализ их качества.
Определение математического ожидания
^ |
1 N |
~ |
1 N |
(9) |
Mx = N ∑ xi , Mx = N ∑ Xi , |
||||
|
i=1 |
|
i=1 |
|
где Xi - независимые случайные величины с одинаковыми Mx i=M x и Dxi =Dx .
12 из 22
Математическое ожидание погрешности оценки среднего равно
M [ |
~ |
~ |
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Mx ]=M [M x−M x ]=M [N ∑i |
Xi]−M x= N NM x |
−M x=0 . |
|
(10) |
||||||||||||||
Дисперсия погрешности оценки среднего равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
~ |
|
1 N |
) |
|
|
1 |
|
N |
) |
|
1 |
|
Dx |
|
σ x2 |
|
|
|
M x |
=D |
(N ∑i |
= |
N |
2 D |
(∑I |
= |
N |
2 NDx = |
N |
= |
N |
. (11) |
|||
D( M x )=D (M x )=D |
Xi |
|
|
Xi |
|
|
|
|||||||||||
Среднеквадратическое отклонение оценки математического ожидания (9)
Mx |
=σ |
x √ |
N≈ σ |
x √ |
N |
. |
(12) |
σ ~ |
|
|
|
|
Оценка (9) – несмещенная, состоятельная и эффективная.
13 из 22
Определение оценки дисперсии и ее среднеквадратического отклонения
|
Dx= N1 |
N |
Оценка дисперсии Dx |
∑( xi−M x )2 . |
|
|
|
i |
Так как значение Mx априори неизвестно, то принимают
~ 1 N |
2 |
1 N |
2 |
Dx= N ∑i |
X i −(N ∑i |
Xi) . |
|
Mx ≈M x и тогда (13)
Математическое ожидание погрешности оценки равно
M [ |
~ |
~ |
Dx |
, |
(14) |
Dx ]=M [Dx −Dx ]=− N |
|||||
что означает, что оценка (14) является смещенной.
Смещение пропорционально Dx и обратно пропорционально N. Это означает, что оценка Dx , полученная согласно (14), - состоятельная.
Смещение устраняется с переходом к |
~' |
|
N |
|
~ |
|
|
|
|
|
Dx= N−1 |
Dx . |
|
|
|
||||||
При этом вместо (13) имеем |
~ |
1 |
|
N |
2 |
|
N |
|
~2 |
(15) |
|
|
− |
|
|||||||
Dx= |
N−1 |
∑ xi |
N−1 |
M x . |
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
||||
При больших значениях N результаты расчета по формулам (13) и (15) практически |
||||||||||
будут одинаковыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx от его точного значения x |
|
Зависимость среднего квадратического отклонения |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14 из 22
Определение корреляционного момента и коэффициента корреляции
Экспериментальное значение корреляционного момента Rxy как оценка смешанного центрального момента m11 системы двух случайных величин равно
|
|
|
|
|
Rxy= N1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( xi−M x ) ( yi−M y ). (16) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как значения Мх, Му |
неизвестны, то принимают Mx ≈M x , M y≈ M y и тогда |
||||||||||||||
Rxy = N |
∑1 |
(xi−Mx )( yi−M y )= N ∑1 |
xi yi−(N |
∑1 |
xi)(N |
∑1 |
yi) |
||||||||
~ |
1 |
N |
|
|
~ |
|
~ |
1 |
N |
|
1 |
N |
1 |
N |
|
или |
Rxy = N |
∑1 |
Xi Y i−(N |
∑1 |
Xi)(N |
∑1 |
Y i). |
|
|
(17) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
~ |
1 |
|
N |
|
1 |
N |
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
Погрешность оценки Rxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Rxy=Rxy −Rxy |
|
(18) |
|
|
|
|
||||
15 из 22