Материал: Определение вероятности
Центральные моменты третьего,
четвертого порядка:
Коэффициент асимметрии 
Наблюдается правосторонняя
асимметрия.
Коэффициент эксцесса 
Положительный знак коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что данное распределение - островершинное.
Выводы: Среднее значение данной
выборки 23,8, со среднеквадратическим отклонением 2,56. Выборка имеет
правостороннюю асимметрию, распределение -
островершинное.
Задание 9. Исходные данные - результаты выборки непрерывного статистического показателя. Провести группировку, разбив диапазон значений статистического показателя на 5 интервалов. Для выборки необходимо:
а) построить гистограмму и секторную диаграмму частот;
|
7,2 |
3,8 |
5,5 |
6,4 |
4,5 |
2,9 |
3,2 |
4,1 |
1,7 |
4,6 |
|
4,2 |
6,2 |
3,4 |
2,5 |
3,6 |
4,4 |
3,8 |
3,9 |
1,5 |
5,8 |
Решение:
Проведём группировку выборки, разбив диапазон
значений случайной величины на 5 интервалов.
|
1,5 |
1,7 |
2,5 |
2,9 |
3,2 |
3,4 |
3,6 |
3,8 |
3,8 |
3,9 |
|
4,1 |
4,2 |
4,4 |
4,5 |
4,6 |
5,5 |
5,8 |
6,2 |
6,4 |
7,2 |
Величина интервала равна 
где 
- число
групп.
Так как 
и 
, то 
.
Получаем интервалы:
|
№ группы |
Интервалы |
Число наблюдений |
|
1 |
1,5 - 2,64 |
3 |
|
2 |
2,64 - 3,78 |
4 |
|
3 |
3,78 - 4,92 |
8 |
|
4 |
4,92 - 6,06 |
2 |
|
5 |
6,06 - 7,2 |
3 |
а) Вычислим относительные частоты:
; 
; 
; 
; 
.
|
xi |
(1,5; 2,64) |
(2,64; 3,78) |
(3,78; 4,92) |
(4,92; 6,06) |
|
|
ni |
3 |
4 |
8 |
2 |
3 |
|
wi |
0,15 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
0,15 |
Гистограмма относительных частот:
Секторная диаграмма частот:
Заполним расчётную таблицу:
Среднее 
равно 
.
За 
примем середины интервалов. 
.
Модальный интервал - это интервал,
который имеет наибольшую частоту. В нашей задаче это интервал 3,78 - 4,92.
Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой
,
где 
− нижняя граница модального
интервала;
− величина модального
интервала;
− частота, соответствующая
модальному интервалу;
− частота, предшествующая
модальному интервалу;
− частота интервала,
следующего за модальным.
В нашем примере:
.
Наиболее часто встречаются величины 4,236
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.
В нашей задаче медианным интервалом будет
интервал 3,78- 4,92. Внутри интервала медиана определяется по формуле:
,
где 
− нижняя граница медианного
интервала;
− величина медианного
интервала;
− полусумма частот ряда;
− сумма накопленных частот,
предшествующих медианному интервалу;
− частота медианного
интервала.
В нашем примере:
.
Половина величин не более 4,2075.
Дисперсия равна 
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
Вычислим начальные моменты первого,
второго, третьего и четвертого порядка.
Центральные моменты первого,
второго, третьего, четвертого порядка:
.
.
Коэффициент ассиметрии:
.
Наблюдается правосторонняя
асимметрия.
Коэффициент эксцесса 
.
Отрицательный знак коэффициента
эксцесса свидетельствует о том, что данное распределение - плосковершинное.
Задание 10. Найти доверительный
интервал для оценки математического ожидания m нормального распределения
генеральной совокупности с надёжностью 0,95, зная выборочное среднее хср.,
объём выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.
= 75,55 n = 75 
= 12.
Решение:
Предельные значения математического
ожидания можно рассчитать по формуле:
По таблице находим: 
( для
вероятности 0,95).
Тогда:
Предельные значения, в которых можно ожидать среднее значение товарооборота:
.
Выводы: С вероятностью 95%
математическое ожидание нормально распределенной генеральной совокупности
попадет в интервал .