Материал: Основные математические операции. методические указания к выполнению лабораторных работ по курсам «Математика» и «Специальные главы математики». Кострюков С.А., Пешков В.В
> factor(ak);
Таким образом,
,
.
Справа в этом равенстве стоит функциональный ряд, который сходится в каждой точке указанного интервала. По определению, сходимость ряда означает существование конечного предела последовательности его частичных сумм. С помощью Maple несложно вычислить частичные суммы в некоторой точке либо построить их графики и тем самым составить представление о сходимости ряда. Это может выглядеть так:
> s:=t->Pi/2.+sum(ak*cos((2*k+1)*t),k=0..1); # частичная сумма S4 ряда Фурье
> evalf(s(1.5)); # значение частичной суммы в точке x=1,5
> plot(s(t),t=-Pi..Pi); # график частичной суммы S4 ряда Фурье
Взяв частичные суммы с большими номерами, убедитесь в более точном их соответствии функции .
Задания
Вариант 1
1. Найти производные:
a)
,
если
y=ln(cos(x2+1));
б)
yIV,
если
;
в)
и
для параметрически заданной функции:
;
г)
и
для неявно заданной функции
;
2. Вычислить интегралы
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
3.
Найти суммы рядов: а)
;
б)
;
4. Вычислить пределы:
а)
;
б)
;
5. Выполнить операции векторного анализа:
а)
в
точке
;
б)
;
в)
.
6. Построить графики функций:
a)
;
б)
.
7. Разложить функции в ряд в окрестности точки z0:
а)
;
z0=0,
б) ; z0=;
в)
.
8. Выполнить интегральные преобразования
а)
L[f(t)],
где
б)
.
9. Решить операционным методом задачу Коши
а)
,
;
б)
.
10. Найти вычеты указанных функций относительно точки z0
a)
,
z0=0;
б)
,
z0=;
в)
z0=
Вариант 2
1. Найти производные
а)
,
если
;
б)
,
если
;
в)
и
для функции, заданной параметрически:
,
;
г)
и
для функции, заданной неявно уравнением
.
2. Вычислить интегралы
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Найти суммы рядов
а)
;
б)
4. Вычислить пределы
а)
;
б)
.
5. Решить задачи теории поля:
а) найти производную
скалярного поля
в точке A(–2,
1, 2) по направлению вектора
;
б) вычислить
дивергенцию и ротор векторного поля:
;
в) вычислить
лапласиан скалярного поля:
.
6. Найти значения функции F(x) при x=0.2, x=0.5 и x=1 и построить её график, если
а)
;
б)
;
в)
.
7.
Разложить
функцию
в ряд по степеням z–z0,
если
а)
z0=0,
б)
,
в) z0=.
8.
а)
Найти синус- и косинус-преобразования
Фурье от функции
,
заданной на интервале [0, ).
б) Найти функцию,
определенную на [0, ),
косинус-преобразование которой равно
.
9.
Найти установившееся решение
дифференциального уравнения
.
10. Разложить функцию f(t) в тригонометрический ряд Фурье на интервале (–,)
a)
б)
.
Построить графики заданной функции и частичной суммы S5(t).
Дополнительные задания
1.
Найти дивергенцию градиента функции
a)
,
б)
.
2.
а) Найти производную скалярного поля
в точке М(1,1,1)
по направлению проходящей через эту
точку нормали к поверхности
.
б) Найти производную
скалярного поля
в точке A
по направлению вектора
; A(–2,
1, 2), B(–2,
–2, 6).
3.
а) Найти угол между
и
,
если
,
M1(1;
1; 0), M2(–1;
0; 1).
б) Найти угол между
и
,
если