Материал: Основные понятия теории очередей. Система с отказами

Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k = n):

;

Вероятность обслуживания:

;

Среднее число занятых обслуживанием каналов:

;

Доля каналов, занятых обслуживанием:

;

Абсолютная пропускная способность СМО:

;

.2 СИСТЕМА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОЖИДАНИЕМ

Заявка, поступившая в систему c неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.  и .

Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

Обслуживание в порядке очереди по принципу “первым пришел - первым обслужен”;

Случайное неорганизованное обслуживание по принципу “последний пришел - первым обслужен”;

Обслуживание с приоритетами по принципу “самые главные вне очереди”;

По ниже написанным формулам можно вычислить СМО с неограниченным ожиданием:

Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0):

;

Предполагается, что .

Вероятность занятости обслуживанием k заявок:

, ;

Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:

;

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

;

Среднее число заявок в очереди:

;

Среднее время ожидания заявки в очереди:

;

Среднее время пребывания заявки в СМО:

;

Среднее число занятых обслуживанием каналов:

;

Среднее число свободных каналов:

;

Коэффициент занятости каналов обслуживания:

;

Среднее число заявок в СМО:

;

2.3 СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ И ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ

Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

Ограничения сверху времени пребывания заявки в очереди;

Ограничения сверху длины очереди;

Ограничения общего времени пребывания заявки в системе.

По ниже написанным формулам можно рассчитать СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди:

Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0):

Вероятность отказа в обслуживании:

;

Вероятность обслуживания:

;

Абсолютная пропускная способность:

;

Среднее число занятых каналов:

 ;

Среднее число заявок в очереди:

;

Среднее время ожидания обслуживания:

;

Среднее число заявок в системе:

;

Среднее время пребывания в системе:

;

2.4 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ

Пусть простейший поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что СМО не может вместить более N заявок, т.е. заявки, не попавшие в ожидание, покидают СМО. Состояния СМО имеют следующий вид:- канал свободен;- канал занят, очереди нет;- канал занят, одна заявка в очереди;

…………………………………………….- канал занят, n-1 заявка в очереди;

……………………………………………. - канал занят, N-1 заявка в очереди.

Процесс в данной системе будет описан системой алгебраических уравнений:

где ;- номер состояния.

Система уравнений имеет следующее решение;

Выполнение условия  необязательно, поскольку число допускаемых в СМО заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

Вероятность отказа обслуживания заявки:

;

Относительная пропускаемая способность СМО:

;

Абсолютная пропускная способность СМО:

;

Среднее число находящихся в СМО заявок:

;

Среднее время пребывания заявки в СМО: ;

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди:

;

Среднее число заявок в очереди:

;

.5 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ

Пусть входной и выходной поток с интенсивностями λ и μ, соответственно. СМО имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .

Многоканальное СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

Пусть .

При условии решение системы уравнений имеет вид

.

; при ,

; при .

Здесь  есть вероятность того, что в СМО n клиентов находится на обслуживании. Среднее число клиентов в очереди на обслуживание определяется следующей формулой:

 .

Среднее число находящихся в СМО клиентов (на обслуживании и в очереди):

 .

Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

 .

Средняя продолжительность пребывания клиента в СМО:

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе представлены характеристики и описания систем массового обслуживания. Без сомнения, системы массового обслуживания охватывают большую часть сфер жихни человека, что делает их изучение и усовершенствование крайне востребованным. Большой вклад в развитие систем массового обслуживания внесли очень много ученых по всему миру, в том числе и в России.Очевидно, что в современном мире их востребованность только растет и любые пути усовершенствования этих систем будут полезны. очередь отказ массовый обслуживание