Материал: Основы проектирования и конструирования деталей машин. Нилов В.А., Жилин Р.А

Для расчета вала на сложное сопротивление необходимо знать величины M_u в опасных сечениях. С этой целью по предварительно принятому или рассчитанному диаметру вала намечают местоположение опор и составляют расчетную схему, определяют все силы, действующие на вал, строят эпюры M_u и M_k, намечают опасные сечения, а затем производят расчет вала.

Результирующие опорные реакции R_i и результирующие изгибающие моменты определяют по формулам:

;

.

где R_x; R_y; M_ux; M_uy – соответственно опорные реакции и изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Далее по одной из теории прочности (обычно третьей)

,

где M_k – крутящий момент, передаваемый валом.

По четвертой теории (энерготехнической)

.

Диаметры вала в расчетных сечениях определяют из условия прочности

.

20.10.Расчет осей и валов на выносливость

При расчете вращающихся осей и валов на выносливость учитывают все основные факторы, влияющие на усталостную прочность: характер изменения напряжений, статические и усталостные характеристики материалов, изменение предела выносливости вследствие концентрации напряжений и влияние абсолютных размеров осей или валов, состояние поверхности. Для учета всех этих факторов конструкция вала должна быть известна.

Расчет осей и валов на выносливость заключается в том, что для каждого опасного сечения определяют действительный коэффициент запаса усталостной прочности «n» и сравнивают его с допускаемым [n]. Следовательно, расчет вала на выносливость осуществляют как проверочный.

20.11.Оси

Неподвижная ось, напряжения в которой изменяются по нулевому циклу (σ_а = σ_m):

.

Вращающаяся ось напряжения в которой соответствуют симметричному циклу

.

При сложном напряженном состоянии и любых циклах изменения напряжений действительный коэффициент запаса прочности «n» равен

,

где n_σ – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям изгиба;

n_τ – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям кручения.

Значения этих коэффициентов определяют по формулам:

при изгибе

,

при кручении

.

При расчете принимают, что нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу , σ_m= 0,

а касательные – по пульсирующему отнулевому циклу

.

Реверсивный вал работает на чистое кручение

,

σ_а и τ_а – амплитудное значение напряжений при знакопеременном симметричном цикле ,

при отнулевом ,

σ_m и τ_m­ – среднее напряжение цикла, при симметричном, знакопеременном цикле σ_m = 0,

при общенулевом цикле ,

где σ_-1 и τ_-1 – пределы выносливости соответственно при изгибе и при кручении для симметричного цикла изменения напряжений.

Для стали при изгибе σ_-1 = (0,4…-,45)σ_β

при кручении τ_-1 = 0,2 σ_β,

σ_а и τ_а – амплитуды циклов при изгибе и кручении.

Можно считать, что нормальные напряжения, возникающие в напряженном сечении вала от изгиба, изменяются по симметричному циклу

, .

Так как величина момента, передаваемого валом является переменной, то при расчете принимают для касательных напряжений наиболее неблагоприятный знакопеременный

цикл – отнулевой (пульсирующий цикл), тогда

,

где σ_m и τ_m – средние напряжения циклов при изгибе и кручении.

Кσ и Кτ – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении.

W_нетто – момент сопротивления сечения вала с учетом шпоночной канавки.

При изгибе .

При кручении .

В зависимости от фактора концентрации: галтель, кольцевая выточка (канавка), поперечное отверстие, шпоночная канавка, шлицы, резьба, прессовая посадка и состояния поверхности (вид обработки) значения коэффициентов Кσ и Кτ принимают по таблицам.

При действии в одном и том же сечении вала нескольких факторов концентрации напряжений от формы, учитывают наиболее опасный их них, а общий эффективный коэффициент концентрации напряжений от формы и состояния поверхности определяют по формуле:

При изгибе К_σ = К_σФ + К_σП – 1

При кручении К_τ = К_τФ + К_τП – 1,

где К_σФ и К_τФ – эффективные коэффициенты концентрации от формы.

К_τФ и К_τП – эффективные коэффициенты концентрации от состояния поверхности

ε – масштабный фактор – коэффициент, учитывающий влияние размеров сечения вала на его прочность. Значения ε определяют по таблицам в зависимости от вида деформации и диаметра вала.

β – коэффициент упрощения, характеризующий повышение предела выносливости в зависимости от вида поверхностной обработки вала (термообработка, дробеструйный наклеп, накатка роликами). Выбирается β (1,1…2) выбирается по таблицам.

ψ_σ и ψ_τ – коэффициенты, учитывающие влияние асимметрии цикла напряжений на прочность вала при изгибе и кручении. Их значения находят из таблицы в зависимости от величины σ_β материала вала.

Допускаемый коэффициент запаса усталостной прочности [n] принимают в зависимости от назначения вала и точности расчетов.

[n] = 1,5…2,5.

Если диаметры валов определяются условиями жесткости, то значения [n] могут быть значительно выше.

При точном определении расчетных нагрузок, точных расчетах, однородном материале вала

[n]_min = 1,3.

Различают изгибную и крутительную жесткость валов.

20.12.Расчет осей и валов на жесткость

Изгибная жесткость осей и валов должна обеспечивать: равномерное распределение давления по длине контактных линий зубьев зубчатых колес; катков фрикционных передач и роликов роликоподшипников по длине контактных поверхностей подшипников скольжения; отсутствие недопустимого перекоса колец шарикоподшипников.

Параметрами, характеризующими степень жесткости на изгиб осей и валов является:

Q_max – угол наклона поперечного сечения вала или оси;

Y – наибольший прогиб оси или вала.

Для обеспечения требуемой жесткости на изгиб необходимо, чтобы действительные значения

Q и Y не превышала допустимых значений [Q] и [Y].

Действительные значения прогибов «Y» и углов наклона упругой линии «Q» вала определяют по известным формулам сопротивления материалов.

В целях упрощения расчетов можно пользоваться готовыми формулами, рассматривая ось или вал как тела, имеющие постоянное сечение приведенного диаметра. Такие формулы имеются в справочной и учебной литературе.

Действительные значения «Q» и «Y» сравнивают с допускаемыми. Существуют следующие нормы: прогиб максимальный [Y] ≤ (0,0002…0,0003)ℓ, а в месте установки зубчатых колес [Y] = (0,01…0,03)m,

где ℓ – расстояние между опорами;

m – модуль зацепления.

Угол наклона под шестерней [Q] ≤ 0,001 рад,

в подшипниках скольжения [Q] ≤ 0,001 рад, в радиальных шарикоподшипниках [Q] ≤ 0,001 рад.

Расчет на жесткость производят только после расчета вала или оси на прочность, когда форма и размеры известны.

Потребная крутильная жесткость валов определяется различными критериями. Статические упругие угловые деформации кинематических цепей могут сказываться на точность работы машины: например, точных зуборезных станков, делительных машин и т.д. В связи с этим углы закручивания длинных ходовых валов тяжелых станков ограничиваются величиной φ = 5¹ на длине 1 м. Для вала-шестерни недостаточная крутильная жесткость может привести к увеличенной концентрации нагрузки по длине зуба. Для большинства валов жесткость на кручение существенного значения не имеет и расчет на крутильную жесткость не производят. Когда же деформация кручения валов должна быть ограничена, то валы рассчитывают на жесткость при кручении по формулам сопротивления материалов.

20.13.Расчет валов на колебания

Для большинства быстроходных валов причинами, вызывающими колебания являются силы от неуравновешенных масс деталей. При совпадении или кратности частоты возмущающей силы и частоты собственных колебаний вала наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний вала резко возрастает и может достигнуть опасных значений. Соответствующие резонансу угловую скорость (ω) и частоту вращения (n) называют критическими (ω_кр, n_кр).

Различают следующие виды колебаний валов: поперечные или изгибные угловые или крутильные; и изгибно-крутильные. В курсе ДМ рассматривают только поперечные колебания, а остальные – в специальных курсах.

Расчет осей и валов на поперечные колебания заключается в проверке условия отсутствия резонанса при установившемся режиме.

Рис. 20.102. Схема для определения критической частоты

вращения вала

Исследованиями установлено, что для отсутствия явления резонанса скорость вращения оси или вала при установившемся движении должна быть меньше или больше критической скорости.

,

где Y – прогиб вала от действия веса установленных на нем деталей.

Например, для простейшей схемы, когда на валу симметрично относительно опор установлена деталь, весом (Р) со смещенным центром тяжести на величину (е).

Для этого случая

.

Критическое число оборотов равно:

.

О приближении скорости вращения вала к критической можно судить по появлению увеличивающейся вибрации вала.

Большинство валов и осей работают в докритической области. Для уменьшения опасности резонанса повышают жесткость валов и уменьшают их частоту вращения n ≤ 0,7 n_кр.

При больших скоростях вращения применяют валы (турбины, центрифуги), работающие в закритической области. Сами валы изготавливают повышенной податливости, кроме того, принимают n ≥ 0,7 n_кр.

Переход через ω_кр осуществляют возможно быстрее и предусматривают специальные ограничители колебаний.