Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

∫

+C .

10.

= ln

cos x

11.

∫ axdx =

+C .

ln a

12.

∫ exdx = ex +C .

∫

13.

= arcsin

1− x2

= arcsin x +C .

a2 − x2

14.∫

15.∫

16.∫

17.∫

a2 + x2 a2d+xx2 = a2d−xx2 = x2d−xa2 =

= ln

x + a2 + x2

arctg

= arctg x +C .

+ x2

∫1

a + x

+C .

a − x

x − a

+C .

x + a

Рассмотрим основные методы интегрирования.

3.1.4. Основные методы интегрирования

Простейший метод интегрирования заключается в том, что данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции или всего подынтегрального выражения и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Кроме этого используют элементарные преобразования дифференциала (операция «внесения под знак дифференциала»). К элементарным преобразованиям дифферен-

циала относят:
dx = 1 d(ax +b),				a ≠ 0 = const			и b = const ,
		a
	x dx = 1 d(x2 ),			cos x dx = d(sin x), sin x dx = −d(cos x),
	dx	2		dx
	dx	= d(ln x),		dx	= d(tgx)		и другие.
	x	= d(ln x),	cos2 x		= d(tgx)		и другие.
	x		cos2 x
Вообще, для любой функции f (u) справедливо равенство

						f ′(u)dx = d(f (u))		,	(3.1)

причем в этом равенстве u – это либо независимая переменная, либо любая дифференцируемая функция от другой переменной.

Формула (3.1) часто используется при вычислении интегралов.

Пример 3.1. Найти ∫xx2d+x6 .

Решение.

1 d(x2 + 6)

∫

xdx

= ∫

∫d(x2

+ 6)

1 ln

+ 6

+C .

x + 6

+ 6

Замена переменной в неопределенном интеграле

Иногда путем перехода к новой переменной подынтегральное выражение может значительно упроститься.

Пусть задан интеграл ∫ f (x)dx . Сделаем подстановку

				x =ϕ(t ),
где ϕ(t ) – монотонная, дифференцируемая функция.
Тогда dx =ϕ′(t )dt			и получим формулу

	∫ f (x)dx =		x =ϕ(t )	= ∫ f (ϕ(t )) ϕ′(t )dt = ∫ψ (t )dt	,	(3.2)
		dx =ϕ′(t )dt

где в найденном интеграле в правой части равенства (3.2) возвращаются от новой переменной интегрирования t к переменной х.

Иногда удобнее в качестве замены выбирать новую переменную t = g (x).

Пример 3.2. Найти ∫sin (3x − 2)dx .

Решение.

		3x − 2 =t
∫sin (3x −2)dx =		x = 1 (t + 2)		= ∫sin t	1 dt =	1	∫sin t dt =
		3			3	3
		dx = 1 dt
		3
= −	1 cost +C = −		1 cos(3x − 2)+C .
	3		3

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Пусть u =u (x) и υ =υ(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда дифференциал произведения функций u и υ равен

	d(uυ) =udυ +υdu .		(3.3)
Интегрируя обе части формулы (3.3), получим
∫d(uυ) = ∫(udυ +υdu).			(3.4)
Используя свойства неопределенного интеграла, перепишем формулу
(3.4) в виде
	uυ = ∫udυ + ∫υdu .		(3.5)
Представив равенство (3.5) в виде

	∫u dυ =u υ − ∫υ du	.	(3.6)

получим формулу, которая называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dυ . Затем, после нахождения υ и du , используется формула (3.6). Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз при нахождении одного интеграла.

Пример 3.3. Найти ∫xsin xdx .

Решение.

	u = x du = dx;
∫xsin xdx =	dυ =sin xdx	= −xcos x + ∫cos xdx = −xcos x +sin x +C .
	υ = ∫sin xdx = −cos x

3.1.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида ∫			d x	и ∫	d x	. Они интегри-
	x	2	+ px + q		x2 + px + q

руются по следующей схеме:

● в знаменателе дроби в квадратном трехчлене выделяется полный квад-

рат;

● производится замена переменной, после которой интеграл становится табличным.

	Пример 3.4. Найти ∫																			d x							.
	Пример 3.4. Найти ∫														4x		2		+12x +9								.
	Решение.														4x				+12x +9
	Решение.
				4x		2	+															2	+		3x +				9			=				2		+2	3			3 2		3 2		9	=
				4x			+		12x +9 =4 x														+		3x +				4			=		4 x				+2	2	x +				−	+	4	=
	d x																												4										2			2		2		4
∫	d x	=																																														=
∫	4x2 +12x +9	=		=						+		3	2					9		+		9			=						+	3 2																=
				=	4			x		+		2	−					4		+		4			=	4 x					+	2
												2						4				4										2

	= ∫			d x							=			t = x +							3			=	1	∫	dt				=		1		∫t−2dt =				1		t−2+1		+C =
				d x										t = x +							3				1		dt						1						1		t−2+1
																					2								2
								3		2											2				4		t		2				4						4		−2	+1
		4			+			3						dt		= d x									4		t						4						4		−2	+1
		4	x		+			2						dt		= d x
								2				= −				1				1	+C = −												1				+C .
																1				1													1
																4				t								4							3
																4				t															3
																														x +					2
																																			2

3.1.6. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических выражений.

1.Интегралы типа

∫cos mx cos nxdx , ∫sin mx sin nxdx и ∫sin mx cos nxdx ,

где m и n – действительные числа, вычисляются при помощи известных тригонометрических формул, превращающих произведение в сумму.

cos mx cos nx = 12 cos(m − n)x + cos(m + n)x ,

sin mx sin nx = 12 cos(m − n)x −cos(m + n)x , sin mx cos nx = 12 sin (m − n)x +sin (m + n)x .

Пример 3.5. Найти ∫sin 2xcos5xdx .

Решение.

∫sin 2xcos5xdx = 12 ∫[−sin3x +sin 7x]dx = −12 ∫sin3xdx + 12 ∫sin 7xdx =

=−12 13 ∫sin3xd(3x) + 12 17 ∫sin 7xd(7x) =16 cos3x −141 cos7x +C.

2.Для вычисления интегралов типа

∫sinm x cosn xdx

применяются различные приемы в зависимости от того, в какой степени (четной или нечетной) находятся тригонометрические функции.

Рассмотрим два случая:

а). Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число, то необходимо «отделить» соответствующую тригонометрическую функцию (sin x или cos x ) и внести ее под знак дифференциала.

Пример 3.6. Найти ∫sin3 xdx .

Решение.

∫sin3 xdx = ∫sin2 xsin xdx = −∫sin2 xd(cos x) = −∫(1−cos2 x)d(cos x) = u = cos x =

= −∫(1 −u2 )du = −∫du + ∫u2du = −u + u3		+C = −cos x + cos3 x	+C.
	3	3
б). Если m и n – четные положительные числа, то используются тригоно-
метрические формулы понижения степени:
cos2 x = 1+ cos 2x ,	sin2 x = 1 −cos 2x .
2		2

Пример 3.7. Найти ∫cos2 3xdx .

Решение.

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей