Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

π						u = 2 − x						du = −dx
π
∫6
∫6	(2 − x)sin 3xdx =					dυ	=sin 3xdx											υ = ∫sin 3xdx									=			1	∫sin 3xd(3x)= −									1	cos3x		=
0						dυ	=sin 3xdx											υ = ∫sin 3xdx									=			3	∫sin 3xd(3x)= −									3	cos3x
										π			π																					π							π
				1						π		1	6													1								π		1		1			π
				1						6	−	1	6	cos3xdx =(2											−	1		cos3x						6	−	1		1	sin 3x		6	=
	=(2 − x) −			3	cos3x						−	3	∫	cos3xdx =(2								− x)			−	3		cos3x							−	3		3	sin 3x			=
				3						0		3	∫													3								0		3		3			0
					1					0			0					1								1								0			1				0
		2 −	π	−	1	cos3		π				(						1	cos(3						−	1								π		+	1	sin (3 0)=
	=	2 −	6	−	3	cos3		6			−	(	2 −0) −					3	cos(3				0)		−	9			sin 3				6			+	9	sin (3 0)=
			6		3			6										3								9							6				9
							−		π			0			−	1				−	1	1	+	1	0			=		2	−	1	=		5	.
					= 2		−					0	−2		−	3	1			−	9	1	+	9	0			=		3	−	9	=		9	.
										6						3					9			9						3		9			9
		Приложение определенных интегралов к задачам геометрии
					3.2.8. Вычисление площадей плоских фигур
	Сначала рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции –

фигуры, ограниченной прямыми x = a и x =b , снизу осью Ox (прямой y = 0 ) и сверху – графиком непрерывной функции y = f (x)> 0 .

Для определения площади этой фигуры отрезок [a;b]		разобьем произ-
вольным образом точками x0 = a , x1, x2 ,…, xn =b	(x0 < x1 < x2 <…< xn ) на n
частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2 ], …, [xn−1; xn ] (рис. 3.5).
В каждом частичном отрезке [xi−1; xi ], (i =1,2,…,n ) возьмем произволь-
ную точку ci и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f (ci ).
Умножим найденное значение функции f (ci )	на длину	xi = xi − xi−1 со-
ответствующего частичного отрезка. Произведение	f (ci )Δxi	равно площади
прямоугольника с основанием xi и высотой f (ci ). Сумма Sn		всех произведе-
ний

Sn = f (c1 )Δx1 + f (c2 )Δx2 +…+ f (cn )Δxn = ∑ f (ci )Δxi

i=1

равна площади ступенчатой фигуры. Площадь S криволинейной трапеции приближенно равна

S≈ Sn = ∑ f (ci )Δxi .

i=1

106

y = f (x)

f (ci )

	c	c	ci	cn
1		2
О a =					= x	х
О a =	x0 x1	x2	xi−1 xi	b	= x	х
					n

Рис. 3.5. Определение площади криволинейной трапеции

Для того, чтобы найти точное значение S, будем неограниченно увеличи-

вать число разбиений ( n → ∞), считая, что d = max xi →0 . Если площадь

i=1,...,n

ступенчатой фигуры Sn будет стремиться к конечному пределу, то этот предел считают равным площади S криволинейной трапеции

		n		b
S = lim Sn =	lim	∑ f (ci )	xi , т.е.	S = ∫ f (x)d x	(3.20)
d →0	d →0	i=1		a
(n→∞)	(n→∞)
(n→∞)	(n→∞)

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция расположена «ниже»
оси Ox , т.е. ограничена функцией y = f (x)< 0		(рис. 3.6).
Так как f (x)< 0 , тогда « − f (x)> 0 ».		Следовательно,	формула (3.20)
примет вид
	b
	S = −∫ f (x)d x	.	(3.21)
	a
107

у
a	b
О	х
	S

y = f (x)

Рис. 3.6. Вид криволинейной трапеции для функции y = f (x)< 0

Если плоская фигура ограничена сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x) соответственно и прямыми x = a и x = b (рис. 3.7), то для

вычисления площади используется следующая формула:

S = b

(x)d x − b

(x)d x = b f

(x)− f

(x) d x

(3.22)

∫

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми

y = c и

y = d , осью

Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)> 0 (рис. 3.8), то ее площадь находится по формуле

d
S = ∫ϕ(y)d y	.	(3.23)
c

Если плоская фигура имеет «сложную форму» (рис. 3.9), то прямыми, параллельными оси Oy или Ox , ее следует разбить на части так, чтобы можно

было применить рассмотренные формулы: (3.20) – (3.23).

108

y = f2 (x)

y = f1 (x)

Рис. 3.7. Плоская фигура ограниченная сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x)

x =ϕ(y)

Рис. 3.8. Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = c и y = d , осью Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)

О a

Рис. 3.9. Плоская фигура «сложной формы»

109

3.2.9. Интегрирование четных и нечетных функций

Пусть функция				f (x)	непрерывна на отрезке [−a;a], симметричном отно-
сительно точки x = 0 . Покажем, что
a				a	(x)d x,		f (x)− четная функция,
a				2∫ f		если
∫				2∫ f		если
∫	f (x)d x = 0							(3.24)
−a						если	f (x)−нечетная функция.
				0,		если	f (x)−нечетная функция.
Для этого разобьем отрезок интегрирования [−a;a]								на части [−a;0] и
[0;a]. Тогда по пятому свойству определенного интеграла имеем
				a		0	a
				∫	f (x)d x = ∫ f		(x)d x + ∫ f (x)d x .	(3.25)
				−a		−a	0
	0		f (x)d x сделаем замену x = −t . Тогда
В интеграле ∫			f (x)d x сделаем замену x = −t . Тогда
	−a
0		x = −t t = −x				0	a	a
		x = −t t = −x
	(x)d x =	dx = −dt
∫ f	(x)d x =	dx = −dt				= −∫ f	(−t )dt =∫ f (−t )dt =∫ f (−x)d x
−a		t	a	= −(−a)= a		a	0	0
−a			a			a	0	0
		tb = 0

(определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования).

Возвращаясь к равенству (3.25), получим

a	a	a	a
∫	f (x)d x = ∫ f (−x)d x + ∫ f (x)d x = ∫(f (−x)+ f (x))d x .			(3.26)
−a	0	0	0
Таким образом, если функция		f (x) четная, то подынтегральная функция

в (3.26) примет вид f (−x)+ f (x)= f (x)+ f (x)= 2 f (x), если же функция f (x) нечетная, то подынтегральная функция в (3.26) будет равна нулю, так как f (−x)+ f (x)= − f (x)+ f (x)= 0 . Следовательно, равенство (3.26) принимает

вид (3.24).

Геометрический смысл равенства (3.24) очевиден. Если f (x) – четная

110

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей