Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть
F(x)
1
T2/T1
Рис.11.13. 
t
ba
Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:
x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T
|
|
|
|
T |
|
|
T |
(x |
a)dx |
|
|
m1 xW(x)dx x |
2 |
(x b)dx x |
1 |
f (x) (x a)dx f (a) |
|||||||
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
T2 |
b T1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
a2 T1 |
|
|
|
|
|
m2 x2W(x)dx b2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
2 m m2 |
b2 T2 a2 T1 (T2 b T1 a)2 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
1 |
T |
|
T T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.
Нелинейное преобразование:
y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk).
ФПВ для процесса y на выходе:
W ( y ) W (x) |
dx |
|
W (x) |
||
dy |
|
dy |
|
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dx |
|
Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.
61
y
Рис.11.14
|
b |
|
-a |
a |
x |
|
-b |
|
nx b, x a y kx , kx a
nx b, x a
Это нелинейное устройство называется ограничителем.
Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m1x=0.
|
|
1 |
e |
x 2 |
|
W (x ) |
|
2 2 |
|||
|
2 |
||||
|
|
|
ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок). Рассчитаем ФПВ процесса y:
1. Пусть x a у=kx (k>1)
W (y) Wdy(x) Wk(x) dx
Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
W (y) |
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
e |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|||
k |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На интервале |
|
y |
|
ka ФПВ для у будет нормальной, со средним |
|||||||
|
|
||||||||||
значением m1y=0, но дисперсия y, т.е. 2y k 2 2 2 (т.к. k 1).
62
W(x)
x
-a a
W(y)
Рис.11.15.
-ka |
0 |
ka |
y |
2. Пусть:x a
y ka
y nx b
W (y) Wdy(x) Wn(x) dx
Выражаем x через у, т.е. x y b n
W ( y ) |
|
1 |
|
e |
( y b )2 |
||
|
|
2n 2 2 |
|
||||
n |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
Это нормальная |
ФПВ со средним значением b и дисперсией |
||||||
n2 2 2,(n 1)
63
3.Пусть:
x a y ka
y nx b
W (y) |
W (x) |
|
W (x) |
|
|
|
1 |
|
|
(y b)2 |
|||
|
|
|
|
e |
2 2 |
||||||||
|
dy |
|
|
n |
|
|
|
|
2n |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это нормальная ФПВ, m1= -b и дисперсия n2 2 . ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).
11.8.ФПВ процесса на выходе идеализированного ограничителя.
Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения.
|
|
|
|
|
|
|
kx |
, |
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ka , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ka |
, |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
x |
|
a , y |
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
ka |
|
|
e |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W |
|
|
|
( y ) |
|
|
|
2 k 2 |
2 |
|
, |
|
y |
|
ka |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.x a;y ka
W(y) lim e |
(y b)2 |
|
|
при..n ,дисперсия |
|
||
|
|
||||||
2n2σ2 |
|
"уши" сжимаютсяи к функции |
P(x a) (y ka) |
||||
|
|
|
|
|
|
(y ka) |
|
|
nσ 2π |
||||||
|
|
|
|
||||
n ,b ka |
|
|
|
||||
64
3.x a; y ka
W (y) P(x a) (y ka)
W(y)
P(x<-a) (y+ka) P(x>a) (y-ka)
Рис.11.16.
-ka |
0 |
ka |
y |
11.9.ФПВ процесса на выходе идеального ограничителя.
Характеристика идеального ограничителя показана на рис.11.17.
y
|
|
|
ka |
|
Рис.11.17. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-ka |
x |
|
|
|
|
|
|
Процесс |
на выходе |
идеального ограничителя |
y - имеет только два |
||
значения : |
ка и –ка. |
Т.к. вероятность положительных и отрицательных |
|||
значений х |
равна 0.5, то вероятность того, что y принимает значения +ka |
||||
или -ka также равна 0.5. Поэтому, выполняя расчеты, как в предыдущем
случае, получим, что ФПВ процесса y |
вырождается в две дельта-функции |
||||
в точках y=-ka и y=ka (рис.11.18): |
|
|
|
||
|
|
W(y) |
|
|
|
0,5 (y+ka) |
|
0,5 (y-ka) |
Рис.11.18. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
y |
-ka |
ka |
||||
|
|
|
|
|
65 |