Материал: Ответы на экзаменационные вопросы по дискретной математике

Следствие. — множество классов вычетов по , где — не простое, имеет делители 0. Например, имеет делители 0: .

12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой Простой идеал

Простой идеал в кольце — идеал, в котором из следует, что либо , либо , либо оба.

Единичный идеал — всегда простой, так как это само кольцо .

В кольце целых чисел идеал прост при простом. Так, например, — прост, так как содержит числа кратные 3. Идеал — не прост, так как — не простое. Например, .

Теорема. Идеал кольца является простым тогда и только тогда, когда кольцо классов вычетов не содержит делителей нуля.

Доказательство.

Кольцо классов вычетов не имеет делителей 0 в том и только в том случае, если из , где , следует, что , либо , либо оба, но тогда: либо , либо , либо оба, что равносильно по определению тому, что идеал — простой. Теорема доказана.

13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры Поле классов вычетов

Теорема. (Следствие из предыдущей.) Кольцо классов вычетов кольца целых чисел по модулю является полем тогда и только тогда, когда — простое число.

Примеры.

1. . Если , то . Если , то , так как . Все ненулевые элементы имеют противоположные, делителей нуля нет, то есть — поле.

2. : — есть делители 0, так как 4 — не простое. , то есть — не поле.

Минимальное поле — поле, не имеющее подполей, отличных от него самого.

Примеры.

1. Поле рациональных чисел — минимально.

2. Поля классов вычетов кольца целых чисел по простым модулям: — минимальные.

14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры Евклидово кольцо

Евклидово кольцо — кольцо без делителей 0, в котором каждому ненулевому элементу сопоставляется целое неотрицательное число , называемое нормой элемента , со следующими свойствами:

1. .

2. , причём либо , либо , либо оба (возможность деления с остатком).

Примеры.

1. Кольцо — евклидово кольцо с нормой . Действительно, не имеет делителей нуля, а введённая норма удовлетворяет условиям 1 и 2 определения:

1) , если — целое, 2) деление с остатком введено.

2. Кольцо целых гауссовых чисел — евклидово кольцо с нормой . Действительно:

1. , если , то

и

2. Можно ввести деление с остатком. Например:

То есть . Остаток: .

3. Кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле — евклидово кольцо с нормой равной степени многочлена . Действительно:

1. Пусть , , тогда

2. Алгоритм деления многочлена на многочлен известен.

Пусть — любое кольцо без делителей 0. Говорят, что делит (то есть делится на без остатка), если такой, что . Запись: .

Ясно, что , то есть если элемент кратен , то он кратен и .

Простой необратимый элемент евклидового кольца — необратимый элемент евклидового кольца, который допускает лишь тривиальное разложение, то есть из равенства следует, что или , или обратимы. Например, в случае: — тривиальные делители числа : и .

Любое число , у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным.

Пример. В кольце простые элементы: … Причём сомножитель этих чисел: — обратим. Составные: … ()

Свойства евклидовых колец

1. В евклидовом кольце все идеалы главные.

Доказательство. Пусть — ненулевой идеал евклидового кольца . Выберем в элемент с наименьшей нормой . Тогда любой можно представить в виде , откуда . Не может быть так, чтобы ( с наименьшей нормой), следовательно, и .

2. Любое евклидово кольцо содержит 1.

Доказательство. Это следует из свойства I. Действительно, применим I к единичному идеалу. Тогда , откуда, в частности, следует, что при некотором . Докажем, что . Для любого получаем, что , то есть , то есть . Свойство доказано.

3. В евклидовом кольце любые 2 элемента и имеют НОД (наибольший общий делитель) , который представим в виде: , то есть НОД представим в виде линейной комбинации элементов и .