Материал: Панков Пособие по ТВиМС часть 2

Полученная фигура называется гистограммой.

Пример. В условиях предыдущего примера построим гистограмму. Выберем в качестве начала промежутка точку 0,5, а в качестве длины h 1.

Заметим, что в качестве начала промежутка можно выбрать любую точку вещественной прямой, но на практике ее стараются выбрать так, чтобы ни одна точка выборки не попала на границу промежутков.

По теореме Бернулли с ростом n площадь каждого из прямоугольников гистограммы, построенного над k-м интервалом, сходится к вероятности попасть в этот интервал (проверьте это самостоятельно).

Определение. Если построена гистограмма, то полигоном частот будет называться ломаная, состоящая из отрезков прямых, последовательно соединяющих ординаты, соответствующие средним точкам интервалов:

Полигон частот и гистограмма, исходя из определений, взаимно-однозначно определяют друг друга.

С помощью построения вариационного ряда, эмпирической функции распределения, гистограммы и (или) полигона частот проводится первичная статистическая обработка результатов эксперимента.

Введем новое определение.

6

Определение. Статистикой называется всякая функция f от выборкиx1,...,xn , в случае если f 1,..., n является случайной величиной.

Итак, у нас имеется случайная величина с теоретической функцией распределения F x . Мы измеряем n раз и получаем выборку объёма n

x1,...,xn c эмпирической функцией распределения Fn x . По этой выборке мы

можем построить новые характеристики (аналогичные уже полученным для случайной величины) .

Определение. Статистика

(так как является средним арифметическим элементов выборки) и обозначается

М1 x .

Статистика

называется выборочным центральным моментом k – го порядка. При k 2

поэтому мы имеем право говорить об их распределении и считать их моменты:

Пример. Если k=1 и M1 x , то

Ex E 1 и Dx 2 1 2 / n D / n .

Найдите самостоятельно ES2, DS2 .

Теорема. Для случая выборки из любой случайной величины выполняется

M P .

k n k

7

Следовательно, эти величины подчиняются закону больших чисел по теореме Хинчина.

Теорема доказана. Теорема (без доказательства). Для случая выборки из любой случайной

величины выполняется

S P .

k n k

Определение. Последовательность случайных величин n называется асимптотически нормальной с параметрами n, n2 , если последовательность

случайной величине.

Теорема. Для случая выборки из любой случайной величины, для которой

0 2k k 2 , последовательность начальных выборочных моментов k

Доказательство. Согласно определению, k -ые степени элементов выборки xik - независимые одинаково распределенные случайные величины, числовые

характеристики которых равны соответственно

Еxik k ; Dxik 2k k 2 .

К последовательности xik можно применить центральную предельную теорему для независимых одинаково распределенных случайных величин.

где 0,1 - стандартная нормальная случайная величина.

Теорема доказана.

8

Тема № 12 Точечное оценивание параметров распределения

Пусть мы наблюдаем случайную величину с функцией распределения F x, 1,..., m , зависящей от одного или нескольких параметров 1,..., m . Пусть вид функции распределения F x известен, а параметры 1,..., m неизвестны.

Наша задача состоит в том, чтобы по наблюдениям за случайной величиной

построить оценки неизвестных параметров

1 1 x1,...,xn ;2 2 x1,...,xn ;

…

m m x1,...,xn .

Любую статистику g x1,...,xn , зависящую только от выборки, можно считать

оценкой параметра , или точечной оценкой. Но возникает вопрос, насколько хороша или плоха данная оценка.

Пример. В случае выборки из произвольной случайной величины, согласно доказанному ранее результату, E k k . Следовательно, статистика Mk -

несмещенная оценка для k . В частности, х - несмещенная оценка для математического ожидания .

Пусть 1, 2 , тогда х - несмещенная оценка для параметра 1 .

Следовательно, эти выборочные моменты – состоятельные оценки для соответствующих теоретических.

9

Исторически первым общим методом получения оценок неизвестных параметров распределения является предложенный К. Пирсоном в 1894 году метод моментов, состоящий в приравнивании эмпирических начальных моментов теоретическим и составлении системы из m уравнений (по числу параметров):

Решением этой системы является набор оценок 1,..., m , называемых

оценками, полученными с помощью метода моментов.

Пример. Пусть выборка производится из нормально распределенной случайной величины с двумя неизвестными параметрами, т. е. 1, 2 .

1 1 ,

D 2 2 2 1 2 2 ,

2 2 12 .

Согласно методу моментов, получаем систему из двух уравнений

где 1 x , 2 S22 x 2 ,

Мы видим, что в этом случае оценки, полученные методом моментов, будут состоятельными.

Еще одним универсальным методом оценивания неизвестных параметров является метод максимального правдоподобия, предложенный в 1921 году Р.Фишером.

Сначала дадим определение функции правдоподобия, которая обозначается

Определение. Если F x, - функция распределения дискретной случайной величины, то функция правдоподобия L x1,...,xn, определяется как

10