Материал: Панков Пособие по ТВиМС часть 2

A P H0 | H0 A 1 P H1 | H0 A 1 .

Мы получаем, что A 1 . Следовательно,

A 1 .

3). Пусть нам заранее заданы и - вероятности ошибок первого и второго рода. Укажем по ним A и B .

47

Четверка A,B, , полностью задает последовательный критерий отношения правдоподобия.

Возьмем в качестве границ числа a и b такие, что a 1 , b 1 , и

рассмотрим два критерия A,B, , и a,b, ', ' .

b

B

A

a

Утверждение. Во введенных выше обозначениях

' ' .

Доказательство. Согласно доказанным нами ранее неравенствам a 1 ' ' , b 1 ' ' .

Следовательно, мы получаем систему

Вычтем из первого неравенства второе и получим

' ' .

Отсюда следует, что ' '.

Теорема доказана.

Оценка среднего числа шагов до принятия решения

Пусть случайная величина - число шагов до принятия решения. Согласно доказанным нами ранее теоремам

P 1, E , E i E E 1 .

i 1

E i

E 1 |Hk Ek 1 ak , где k 0,1 .

48

ln B

Делаем вывод, что при таких условиях в момент окончания процедуры либо

Можно отметить также, что если удалось построить последовательный критерий с меньшей, чем у данного критерия, суммой вероятностей ошибок первого и второго рода, то среднее число шагов до принятия решения E0 и

E1 в новом критерии будет больше.

Данный результат, опубликованный в 1948 году, и уточненный в 1976 году Г. Саймонсом, получил название теоремы Вальда – Вольфовица.

49

Тема № 17 Метод статистических испытаний

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 году, и рассматривался в теме № 4 части I данного курса.

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку – одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.

Вычислительная техника позволяет легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и другие). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экологических, биологических и т.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение a некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую величину , математическое ожидание которой равно a: E a .

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают выборку объема n из случайной величины , вычисляют

1 n

выборочное среднее x n i 1 xi и принимают x в качестве оценки

(приближенного значения) a* искомого числа a: a a* x.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину , как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания a его оценкой a*.

Отыскание возможных значений случайной величины (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.

Оценка погрешности метода Монте-Карло

50