Материал: Презентации лекций какого-то года
Свойства функции потока
•Линия равной функции потока совпадает с линией напряженности.
•Линии равной функции потока перпендикулярны линиям равного потенциала.
•Положительное направление изменения функции потока – против часовой стрелки для положительного заряда.
•Функция потока многозначна
•Функция потока нормируется на основе теоремы Гаусса
Выражение для напряженности через функцию потока
E |
U |
|
V |
|
|
U
E
n
Величина вектора E равна численно уменьшению потенциала на единицу длины в направлении линии напряженности поля
V
E
a
Напряженность поля численно равна потоку вектора E , проходящему через единицу поверхности, нормальной к линии напряженности поля
Поток da E проходит через поверхность lda
E da E daV V
n |
a |
lda |
da |
a |
Выражение для напряженности через функцию потока
Условимся считать функцию потока, возрастающей влево от вектора для наблюдателя, расположившегося так, чтобы для него вектор направлен снизу вверх
E |
U |
|
V |
|
n |
a |
|||
|
|
Для декартовой системы координат:
Ex |
|
|
U |
|
|
|
V |
|
x |
|
y |
||||
Ey |
|
U |
|
|
V |
||
y |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения Лапласа для функций потенциала и потока
Ex |
|
|
U |
|
|
|
V |
|
|
x |
|
y |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ey |
|
U |
|
|
V |
|||
|
|
|||||||
y |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Продифференцируем первое уравнение по x , а второе по y
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2U |
0 |
|
x2 |
y2 |
||||||||||||
x2 |
x y |
y2 |
x y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Продифференцируем первое уравнение по y , а второе по x :
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2V |
|
2V |
|
2V |
0 |
|||||
x |
2 |
y |
2 |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
x y |
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом функции U и V удовлетворяют уравнению Лапласа
Функция потока
Линии равного потенциала в плоскости xOy определяются уравнением:
U (x, y) const
U const
E - поток вектора E сквозь поверхность, которую описал бы отрезок MmA, перемещаясь параллельно самому себе в направлении оси Oz и проходя путь l
V E / l - поток на единицу длины проводов
V x, y const - если все точки M (x,y) лежат на одной и той же линии напряженности поля
V x, y - многозначная функция потока
Линии равной функции потока совпадают с линиями напряженности
Одна из линий напряженности выбирается в качестве линии нулевого потока. Выбор может быть сделан произвольно