Документ: Примеры-Геом.Хар-ки, страницы 1-5

4.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

4.1.1 Основные понятия

Геометрическими характеристиками сечения являются площадь сечения А, статические моменты площади относительно координатных осей Sx , Sy , моменты инерции плоской фигуры – осевые I x , I y , центробежный

I xy , полярный I p (рис. 4.1):

A dA;

Ix y2dA;

y

A

х

dA

Sx ydA;

I y x2dA;

A

S y xdA;

Ixy xydA;

y

A

2

х

I p dA.

0

A

Рис. 4.1

4.1.2 Определение положения центра плоской фигуры

Общий случай:

n

Ai yci

Ai xci

y

i 1

;

x

i 1

,

c

n

c

n

Ai

i 1

где n – число простых фигур, на которые разделено сечение;

Ai , xci , yci – площадь и координаты центров каждой из фигур; xc , yc – координаты центра всего сечения.

Частные случаи

1.Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести площади размещается в точке пересечения осей симметрии.

2.Если сечение имеет только одну ось симметрии, то центр тяжести фигуры

лежит на этой оси и определять надо только одну координату – y c или xc .

3. Если выделить две части сечения, то их общий центр тяжести будет лежать на прямой, соединяющей центры тяжести этих двух частей, и будет делить эту прямую на отрезки, по длине обратно пропорциональные площадям составляющих фигур.

Пример 4.1.1. Найти центр тяжести заданных сечений (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Решение. Все эти сечения имеют центр тяжести в точке пересечения осей симметрии.

Пример 4.1.2. Найти центр тяжести заданных сечений (рис. 4.3).

а)	y0
		12 см
2	C1
10	C		x0
10	C2	yc
	4 см		х
	4 см

б)
		10 см
				2
см	2	C1
см			x0
22	C2	C	x0
22	C2	C
		C3		2
				2
		xC
	y	у0
		Рис. 4.3

	в)	y0
		y0
			h
		C	x0
уC

		b	х

Решение. Во всех сечениях одна ось симметрии, поэтому для определения положения центра тяжести фигуры в каждом случае необходимо вычислить только одну координату:


а)	y			A1 yc1 A2 yc2	24 11 40 5		7,25 см;
		c
				A1 A2	24 40

б) x			A1xc1 A2 xc2 A3 xc3			20 5 36 1 20 5		3,10 см;

	c			A1 A2 A3		20 36 20

в)	из геометрии известно, что центр треугольника располагается на

расстоянии 1/3 высоты от основания yc 13 h .

Пример 4.1.3. Найти центр тяжести фигуры (рис. 4.4).

Решение.	A 300	см2;
	1

A 600

см2.

Соединяем

2

см

C1

центры тяжести первой и второй

30

фигур прямой C1C2 . С – общий

C2

C

15

центр тяжести.

10

40 см

Рис. 4.4

CC1

A2

600 2;

CC

2 C C ; CC

1 C C .

CC

2

A

300

1

3

1 2

2

3

1

2

1

Этот прием определения положения центра тяжести удобен не столько

для точных расчетов, сколько для ориентировочной оценки места

нахождения центра тяжести.

Пример 4.1.4. Найти центр тяжести фигуры (рис. 4.5).

Решение. 1. Делим фигуру

10

на три простые составные части

y

C3

A i

–

два

прямоугольника

и

xC

у0

C

2

15

см

треугольник.

C

25

2.

Выбираем оси x и y и

x0

yC

находим

координаты

центров

10

C1

тяжести каждой из трех частей (

х

xci , yci ,

i 1, 2, 3).

20

5

3. Подсчитаем координаты

Рис. 4.5

центра тяжести

всей

фигуры

(

xc ,

yc ).

Расчеты сведены в таблицу 4.1.

Т а б л и ц а 4.1

i			A i,			xci,			yci,	Aixci,	Aiyci,
			см2			см			см	см3	см3
1			200			10		5		2000	1000
2			125			22,5		12,5		2812,5	1562,5
3			75			28,3		20		2122,5	1500
	3									S y 6935
	Ai 400									S y 6935	Sx 4062,5
	1
	y			Sx	Ai yci				4062,5	10,16 см;
	y	c			Ai yci					10,16 см;
		c		A		Ai	400
				A		Ai	400

x	Sy	Ai xci	6935	17,34 см.

c	A	Ai	400

Проверка. Известно, что статические моменты площади относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры, равны нулю.

3

Sx0 Ai yci yc 200 (5 10,16) 125 (12,5 10,16)

1

75 (20 10,16) 1,5 см3;

3

S y0 Ai xci xc 200 (10 17,34) 125 (22,5 17,34)

1

75 (28,3 17,34) 1 см3.

Если учесть, что слагаемыми при вычислении Sx0 и Sy0 были трех-,

четырехзначные числа, то можно считать, что полученные суммы – статические моменты площади заданной фигуры относительно осей x0 и y0

– практически близки к нулю. Следовательно, оси x0 и y0 действительно проходят через центр тяжести фигуры.

4.1.3 Моменты инерции плоских фигур. Расчетные формулы

Моменты инерции простейших фигур (рис. 4.6–4.8)

y

h	х	r

		х	h

b

х

I

bh3

; I

hb3

I

r4

; I

r4

I

bh3

x

12

y

12

x

4

p

2

x

12

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Заметим, что для треугольника момент инерции определяется по приведенной формуле относительно оси, проходящей через основание, а для прямоугольника и круга – относительно осей, проведенных через центр тяжести фигур.

Моменты инерции площади сложной фигуры определяются как алгебраическая сумма соответствующих моментов инерции относительно

заданных осей простейших фигур, на которые можно разделить исходную

сложную фигуру (рис. 4.9):

I x I xi ;

I y I yi ; I xy I xyi ,

i

где i – порядковый номер частей, на которые разделена фигура.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей, параллельных

центральным осям (рис. 4.10):

I

x1

I

x

a2 A;

I

y1

I

y

b2 A;

I

x1y1

I

xy

abA,

где A – площадь фигуры; а и b – координаты центра тяжести площади С в

осях x1, y1.

y

y1

y

II

b

х

dА

I

III

C

х

а

y

0

х

0

х1

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Моменты инерции плоской фигуры относительно повернутых осей

(рис.

4.11):

I

x1

I x

I y

I x

I y cos 2 I

xy

sin 2 ;

2

I

y1

I x

I y

I x

I y cos 2 I

xy

sin 2 ;

2

I

x1y1

I x

I y sin 2 I

xy

cos 2 ,

2

положительно при повороте осей против часовой стрелки.

Определение положения главных осей, величины главных моментов инерции I xг , I yг и радиусов инерции ix , iy

Главные центральные оси инерции плоской фигуры – это такие оси, которые проходят через центр тяжести фигуры и относительно которых

осевые моменты инерции достигают экстремальных значений I x max и I y min ,

а центробежный момент инерции фигуры относительно этих осей обращается в ноль. I x max и I y min называют главными моментами инерции.

Материал: Примеры-Геом.Хар-ки

Смотрите также: