Дипломная (вкр): Проектирование лабораторного стенда по изучению принципа действия и структуры активных электромагнитных подвесов

В положение равновесия приводит сумма сил действующих на шар,

т.е. , где  ‒ магнитная сила, ‒ сила тяжести.

На рисунке 2.1.2 представлена принципиальная схема трехосевого магнитного подвеса.

Рисунок 2.1.2‒ Принципиальная схема трехосевого магнитного подвеса

Основным преимуществом трехосевого магнитного подвеса является то, что перемещение управляемого объекта можно будет осуществлять по трем осям, за счет этого будет увеличена точность перемещения объекта.

Fm = + +

где  ‒ магнитная сила, ‒ сила тяжести.

2.2 Математическая модел

Для разработки математической модели проектируемой системы, необходимо рассмотреть электрическую модель и эквивалентную ей механическую модель.

Сила , которую электромагнит оказывает на шар, зависит от тока  в электромагнитной катушке и величины воздушного зазора .

На рисунке 2.2.1 б) представлена статическая тяговая характеристика электромагнита с его линеаризацией вокруг рабочей точки .

а) график зависимости силы от тока; б) тяговая характеристика электромагнита.

Рисунок 2.2.1‒ Характеристики электромагнита

Тяговая характеристика электромагнита на рисунке 2.2.1 (б) по сравнению с характеристикой пружины на рисунке 2.2.2 имеет другой характер. Линейная характеристика пружины имеет непрерывный положительный подъем. Отклонение  вызывает силу упругости . Она направлена в противоположную сторону отклонению , и стремится вернуть величину отклонения в начальное положение, то есть сила пружины оказывает стабилизирующее воздействие. В отношении магнитной силы  такого не происходит.

Магнитная сила следует из правила обратных квадратов , то есть, чем больше расстояние  между магнитом и якорем, тем меньше будет магнитная сила.

Знак наклона статической тяговой характеристики в рабочей точке на рисунке 2.2.1 (б), определяет стабильность. Этот наклон обозначается в технологии магнитных подшипников по аналогии с жесткостью пружины, как жесткость объекта регулирования. На рисунке 2.2.1(б) видно, как по наклонной кривой, возникает отрицательная жесткость. У нерегулируемого объекта управления есть отрицательная жесткость, которая приводит к тому, что нерегулируемый объект управления является неустойчивым. По этой причине нерегулируемый электромагнит нестабилен и ему необходима стабилизация при помощи регулятора.

Рисунок 2.2.2 ‒ Характеристика пружины

На практике при проектировании регулятора используют линеаризованную модель. По этой причине нелинейная характеристика  магнитной силы в рабочей точке , ,  линеаризируется.

Для регулирования «многоосевого магнитного подвеса» в рабочей точке будем использовать следующие отклонения:

отклонение тока соответствует формуле (2.2.1)

, (2.2.1)

отклонение силы соответствует формуле (2.2.2)

, (2.2.2)

отклонение смещения соответствует формуле (2.2.3)

. (2.2.3)

Таким образом, общая сила вычисляется по формуле (2.2.4)

. (2.2.4)

Для отклонения от рабочей точки подвеса необходимо измерить расстояния  и . Общая сила f может быть линеаризована, как функция смещения x и тока i вокруг рабочей точки . Смещение  считается положительным, если воздушный зазор меньше . В соответствии с формулой (2.2.5) это изменение координат ведет к изменению знака перед соответствующей частной производной.

. (2.2.5)

Погрешность, возникающая при линеаризации дифференциального уравнения, описывающая динамические системы, требует оценки.

Уравнение 2.2.5 предназначено для проектирования регулятора. Линеаризация неприменима к частным случаям, например касание магнита шаром, или при насыщении магнита.

.3 Проектирование регулятора

Простая физическая эквивалентная модель подвеса состоит из демпфера и пружины. При этом подвешиваемое тело массой m возвращается при помощи жесткости подвеса c в свое исходное положение. Коэффициент демпфирования (затухания) b описывает демпфирование конструкции подвеса.

Рисунок 2.3.1 - Физическая и электрическая модель магнитного подшипника

Рисунок 2.3.1(а) соответствует уравнению (2.3.1), а рисунок 2.3.1(б) соответствует уравнению (2.3.2)

 , (2.3.1)

 . (2.3.2)

Рассматриваемую систему магнитного подвешивания можно представить в виде замещенной механической модели. Данные схемы представлены на рисунке 2.3.1.

Задача регулятора состоит в том, чтобы устанавливать величину тока i таким образом, чтобы обе модели обладали одинаковыми динамичными характеристиками. При приравнивании правых частей дифференциальных уравнений (2.3.1) и (2.3.2), можно выразить дифференциальное уравнение регулятора

 . (2.3.3)

Из уравнения (2.3.3) выразим значение i и получим дифференциальное уравнение для регулятора

где с‒ необходимая жесткость;

b‒ необходимое демпфирование магнитного подшипника.

Уравнение регулятора (2.3.4) дает возможность стабилизации магнитного подшипника.

Для упрощения закона управления, предположим, что датчик функционирует как идеальный P ‒элемент и усилитель не имеет задержки, тогда обе модели на рисунке 2.3.1 имеют сравнимые динамичные характеристики.

Магнитный подшипник по сравнению с механической моделью имеет регулируемые динамические характеристики:

‒ свободный выбор жесткости (жесткость подшипника может свободно выбираться независимо от смещения  шара);

‒ свободный выбор демпфирования (затухания) в широком диапазоне;‒ изменчивость жесткости и демпфирования во время работы ‒ это

позволяет избегать критических ситуаций, как прохождение резонанса быстрыми роторами, путем переключения жесткости и демпфирования;

‒ магнитный подшипник может быть использован в качестве гашения вибраций или факторов возбуждения.

Из уравнения (2.3.4) видно, что структура регулятора может иметь вид

, (2.3.5)

Для краткости записи приведем выражение (2.3.5) к виду (2.3.6)

, (2.3.6)

 ;

 .

Рисунок 2.3.2 ‒PD‒ регулятор

На рисунке 2.3.2 представлена схема PD - регулятора, которую описывает уравнение (2.3.6). При помощи регулятора будет реализована регуляция коэффициентов лабораторного стенда.

3. Реализация регулятора, на микроконтроллере

Микроконтроллер это микросхема, предназначенная для управления электронными устройствами. Типичный микроконтроллер сочетает на одном кристалле функции процессора и периферийных устройств, содержит ОЗУ и (или) ПЗУ. По сути, это однокристальный компьютер, способный выполнять простые задачи.

.1 Программная реализация ПД - регулятора

Пропорционально - интегрально - дифференциальный (ПИД) регулятор это устройство в цепи обратной связи, используемое в системах автоматического управления для формирования управляющего сигнала. ПИД - регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трех слагаемых, первое из которых пропорционально входному сигналу, второе является интегралом входного сигнала, а третье - производная от входного сигнала.

В большинстве случаев ПИД - регулятор используется для формирования сигнала управления (задания) какой - либо системой, где в качестве обратной связи используется технологический датчик по требуемому параметру (температуре, давлению, уровню и т.д.).

Рисунок 3.1.1 ‒ ПИД - регулятор

где y0 - заданное значение технологического параметра;- выходной сигнал, он же сигнал обратной связи с технологического датчика;- ошибка по управлению (разница между заданием y0 и выходным сигналом y);- выходной сигнал ПИД - регулятора, входной сигнал системы.

Математически ПИД - регулятор описывается следующей формулой

 (3.1.1)

Или

 (3.1.2)

где t -время;- пропорциональный коэффициент;- постоянная интегрирования;- постоянная дифференцирования;= 1/Ti - интегральный коэффициент;= Td - дифференциальный коэффициент.

ПИД - регулятор способен управлять процессом, основываясь на его истории и скорости изменения. Основная идея в том, что контроллер получает информацию о состоянии системы с помощью технологического датчика. Затем вычитает измеренное значение из заданного для вычисления ошибки. Ошибка будет обрабатываться тремя путями: обрабатываться в настоящем времени пропорциональной составляющей, возвращаться в прошлое, используя интегральную составляющую, и предвидеть будущее, через дифференциальную составляющую.

Функциональная схема ПИД - регулятора представлена на рисунке 3.1.2

Рисунок 3.1.2 ‒ Функциональная схема ПИД - регулятора

.1.1 Пропорциональная составляющая

Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал, противодействующий отклонению регулируемой величины y от заданного значения y0, наблюдаемому в данный момент времени. Он тем больше, чем больше это отклонение. Если входной сигнал равен заданному значению, то выходной равен нулю.

Однако при использовании только пропорционального регулятора значение регулируемой величины никогда не установится на заданном значении.

Чем больше коэффициент пропорциональности K между входным и выходным сигналом (коэффициент усиления), тем меньше статическая ошибка, однако при слишком большом коэффициенте усиления могут начаться автоколебания, а при дальнейшем увеличении коэффициента система может потерять устойчивость.

На рисунке 3.1.1 стационарная ошибка в значении системного процесса появляется после изменения опорного сигнала (ref). Использование слишком большого П - члена даст неустойчивую систему.

Рисунок 3.1.1 ‒ Отклик П контроллера на ступенчатое изменение опорного сигнала.

.1.2 Интегральная составляющая

Для устранения статической ошибки используют интегральную составляющую. Она позволяет регулятору учитывать прошлые значения. Если система не испытывает внешних возмущений, то через какое-то время регулируемая величина y стабилизируется на заданном значении y0, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечивать интегральная составляющая.

Физически интегральная составляющая представляет задержку реакции регулятора на изменение величины рассогласования, внося в систему инерционность, что может быть полезно для управления объектами с высокой чувствительностью.

Обычно интегральную составляющую используют совместно с пропорциональной, в так называемых ПИ-регуляторах. Использование только интегральной составляющей дает медленную подстройку и часто колебательную систему. Рисунок 3.1.2 показывает ступенчатый отклик И и ПИ-регуляторов. Как видите отклик ПИ - регулятора не имеет стационарной ошибки, а отклик И - регулятора очень медленный.