Материал: ПЗ 5

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ПРИНЦИПМАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

Принцип максимума, в отличие от метода множителей Лагранжа, позволяет решить задачу оптимального управления, в которой на управ-

ление		наложены ограничения типа			неравенства. Постановка задачи
с ограничением на управления в общем случае имеет вид:
	1)	Уравнения движения объекта управления
	= ( 1		2	̇= ( , , ),	= 1, 2, … , ,
где				… )
	= ( 1		2	… ) – вектор управляющих переменных.
	2)	Ограничения на управление
				,

– допустимое множество значений управления.
где Часто ограничение на управления имеет вид неравенства:
3)	Граничные условия	≤ .
		= ,	= 1, 2, … , .
	( 0) = 0;
или в более общем случае		, = 0,	= 1, 2, … , .
	( 0), , 0
4)	Критерий оптимальности

	= 0 ( 0), , 0, + 0( , , ) .
			0

Алгоритм решения задачи с помощью принципа максимума отличается от алгоритма решения методом множителей Лагранжа лишь одним шагом:

вместо условия стационарности записывается принцип максимума.

Алгоритм решения задачи с помощью принципа максимума Понтря-

гина включает следующие действия:

Составить гамильтониан

= ,

где

0 = −1

Составить уравнения Эйлера–Лагранжа

= 1, 2, … , .

= − ,

Записать принцип максимума

= (

, ),

max (

, ,

, )

из которого выразить управляющие переменные

(

) и под-

ставить в уравнения движения. Получится

система дифференциальных

= 1, 2, … ,

уравнений:

̇= ( , , ),

= 1, 2, … , .

мых

При анализе условия максимума может получиться, что управляющие

должны принимать значения на границе области допусти-

переменные

значений. При этом возможны скачкообразные изменения величины

| | ≤

−

Например, если область допустимых значений задана неравенством

, то

может менять значение с

на

. Такие моменты времени

будут называться точками переключения.

Точки переключения делят весь процесс от начальной точки

до ко-

нечной

на интервалы. Например, в случае одной точки переключения0

уравнений составляется[ 0и; 1				]	и	1;		. Тогда система дифференциальных
будет два интервала:
			решается отдельно для каждого интервала.
В точках переключения справедливо условие неразрывности, в соот-
1( 1) = 2( 1) ( = 1,2, … , )							1
			переменные					не могут иметь разрывов, то есть
ветствии с	которым					, где			– переменная состояния на первом
интервале,	2	– переменная состояния на втором интервале.

4)Решить данную систему уравнений с учетом граничных условий.

Вслучае отсутствия некоторых граничных условий (задача с подвижным

концом) составляются условия трансверсальности:

( 0) = −		;	=	,	= 1, 2, … , .
	( 0)

Для задачи с нефиксированным временем составляются условия трансверсальности, обусловленные вариацией начального или конечного момента времени:

\|=0	=		;	\|=
		0			= − .

Количество граничных условий и условий трансверсальности должно совпадать с количеством постоянных интегрирования, то есть с количеством дифференциальных уравнений. Найти постоянные интегрирования.

	5)	Подставить найденные постоянные интегрирования в выражения
( ), ( ).				( )				и
для		и записать в ответе оптимальные функции управления
			состояния		. Построить графики	функций
функции( ) переменных							( )

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист: оформляется в соответствии с приложением (текст, выделенный курсивом, заменить в соответствии с данными своей работы).

2.Задание: сформулировать задачу и привести исходные данные

всоответствии с вариантом.

3.Решение: привести все расчетные формулы, преобразования и промежуточные результаты. Все формулы должны быть снабжены комментариями. В случае использования программы Matlab для выполнения некоторого действия, например решения уравнения, допускается приводить только систему уравнения и корни системы уравнений, указав команду или номер строки программы, в которой это действие выполняется.

4.Текст программы: вставить текст программы Matlab, которая использовалась при выполнении лабораторной работы. В тексте программы должны быть комментарии, поясняющие, какие действия выполняются

5.Результаты: в ответе привести функции ( ), ( ) и графики

этих функций.

ПРИНЦИПМАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

											Задание
	При наличии ограничения на управление																							требуется перевести
					= 0										заданное время											.
объект на максимальное перемещение 1														за					\| \| ≤
	Начальное время 0								Уравнения движения, граничные условия
	Начальное время 0							.		( )																			( )
и конечное время						( ),				( )																			( )
и конечное время				заданы в табл. 4 по вариантам.																								.
	Постройте графики				1				2			и график функции управления																.
	Таблица 1 Исходные данные для расчета

	1	Уравнения														,											1		1
	1	̇1 = 2	− 2													,											1		1
	Вариант	движения										Граничные условия
	2	̇2 =	+ 2				1	( 0)			= 2		( 0)	= 0,			2						= 0				0,5		2
		̇1 = 2	+ 2				1	( 0)			= 2		( 0)	= 0				2			= 0
	3	̇2 = − 1		+			1	( 0)			= 0, 2( 0) = 4								,	2		= 0					1,5		1
		̇1 = 2	− 1				1	( 0)			= 0, 2( 0) = 4									2		= 0
	4	̇2 = −1		+			1	( 0)			= 2( 0)			= 2		,		2			= −2						2		2
		̇1 = 2	+				1	( 0)			= 2( 0)			= 2				2			= −2
	5	̇2 = 1	+				1	( 0)			= −2, 2( 0) = 2										,	2			= −10		2,5		2
		̇1 = −2		+			1	( 0)			= −2, 2( 0) = 2											2			= −10
	6	̇2 = 1	+													,											3		1
		̇1 = 2	− 4				1	( 0)				2	( 0)						( 2)
	7	̇2 =	+ 5								=			= 0,									= 1				2,2		2
		̇1 = 2	+ 5				1	( 0)			= 2		( 0)	= 0				2			= 0
	8	̇2 = − 1		+ 2			1	( 0)			= 0, 2( 0) = 2								,	2		= 0					0,8		1
		̇1 = 2	− 3				1	( 0)			= 0, 2( 0) = 2									2		= 0
	9	̇2 = 1	+				1	( 0)			= 2( 0)			= 2		,		2			= −2						2,8		1
		̇1 = 2	+				1	( 0)			= 2( 0)			= 2				2			= −2
	10	̇2 = −1		+			1	( 0)			= −1, 2( 0) = 1										,	2			= −4		3,2		2
		̇1 = −2		+			1	( 0)			= −1, 2( 0) = 1											2			= −4
	11	̇2 = 1	+ 2				1	( 0)			= 2( 0)			= 10				,	2 = 0								1,2		1
		̇1 = 2	+ 5				1	( 0)			= 2( 0)			= 10					2 = 0
	12	̇2 = −1		+																	,						1,6		2
		̇1 = −2		+			1	( 0) = −1, 2( 0) = 1														2	= 0
		̇2 = 1	+ 3				1	( 0) = −1, 2( 0) = 1														2	= 0

Источник: https://studfile.net/preview/16583018/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния