Материал: ПЗ 5

Исходные данные:

̇1 = 2;

:2, = 1)..

Ограничение( =

1)

Уравнения движения:

2)̇2 =

(0) = 0

= 0

= 10 с

4)

(0) =

3)

Граничные

условия:

| | ≤ 5

1

2

,

2

,

.

1

равен:

Критерий оптимальности в случае максимального перемещения

Решение= −1 : → .

1)

Гамильтониан:

= 1 1

+ 2

2 = 1 2

+ 2 .

=

=0

3)

=

= −

+

Решение данной системы уравнений с точностью до постоянных ин-

тегрирования:

1

1

,

2

1

2

.

Условие принципа максимума:

+ max(

).

max|

= max(

+

2

) =

2

|≤5

| |≤5

1

2

1

2

| |≤5

принимает

значение

5 или

–5 в

зависимости =от5sign(

2

)

Из условия принципа максимума следует, что

. То есть

знак= − +

знака

функции

2

1

2

. Так как функция

2

линейная, то она может изменить

только один раз и может быть только одна точка переключения. Обо-

5, при0 ≤ ≤ 1,

или

−5, при 0 ≤ ≤ 1

,

значим момент ереключения 1

. Возможно два варианта:

( ) =

1

( ) =

1

Далее

−5, при

< ≤

5, при

< ≤ .

необходимо полностью выполнить решение для обеих гипотез

и выбрать ту из них, для которой ответ получится оптимальным.

( ) =

5, при 01≤ ≤ 1,

Для начала рассмотрим первую гипотезу:

−5, при

< ≤ .

(0) = (0) = 0

условий в начальный момент времени

1

С

учетом

граничных

2

решение данной системы дифференциальных уравне-

ний будет следующим:

11

= 5 2,

21 = 5 .

2

1 < ≤

,

= −5

̇1 = 2;

б)

Второй участок

.

̇2 = −5.

С учетом граничного условия в конечный момент времени

2

иметь одну

решение данной системы дифференциальных уравнений будет

(10) = 0

Для

= + (50 −

5 ),

= 50 −5 .

произвольную постоянную:

22

12

1

определения постоянной

и времени переключения

запишем

11( 1) = 12( 1),

условия неразрывности:

21( 1) = 22( 1);

25

112

= + 1

(150 −5 1),

5

= 50 −5 .

1 = 5

= −125

Решив данную систему уравнений, получим:

c,

.

5) Таким образом, оптимальные управляющая переменная и пере-

5, при 0 ≤ ≤ 5 с,

менные состояния будут равны:

( )

= −5, при 5 < ≤ 10 с;

1

5

2, при 0 ≤

≤ 5 с,

2

2

( ) = 5

+ (50 −

5 ), при 5 < ≤ 10 с;

2

2

5 , при 0 ≤ ≤ 5 с,

( ) = 50 −

5 , при 5 < ≤ 10 с.

1( ), 2

( )

( )

и переменных состояния

Графики функции управления

представлены на рис. 1.