Материал: Расчет балки на прочность. методические указания к выполнению контрольных и расчетно-графических работ по курсу Сопротивление материалов. Резунов А.В., Синозерский А.Н

0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

Методические указания

к выполнению контрольных

и расчетно–графических работ по курсу

"Сопротивление материалов"

для студентов всех специальностей

очной и заочной форм обучения

Воронеж 2013

УДК 624

ББК 30.121

Составители

А.В. Резунов, А.Н. Синозерский

Расчет балки на прочность : метод. указания к выполнению контрольных и расчетно-графических работ по курсу "Сопротивление материалов" для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения / Воронежский ГАСУ; сост.: А.В. Резунов, А.Н. Синозерский. – Воронеж, 2013. – 21 с.

Даются указания по расчету на прочность простых статически определимых балок. Приводится пример, включающий построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений балок из хрупкого и пластичного материалов, расчет прочности в заданном сечении стальной двутавровой балки. Изложено решение этой же задачи с помощью ПЭВМ.

Предназначены для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.

Ил. 8. Библиогр.: 5 назв.

УДК 624

ББК 30.121

Печатается по решению научно-методического совета

Воронежского ГАСУ

Рецензент – А.Н. Аверин, канд. техн. наук, доцент кафедры строительной механики Воронежского ГАСУ

Введение

Элементы перекрытий зданий и сооружений, пролетных строений мостов, эстакад, оси машин и механизмов и т.д., представляющие собой установленные на опоры и сопротивляющиеся изгибу стержни, называются балками /1–3/. Рассмотрим деформирование статически определимых балок постоянного сечения. Предположим, что балка имеет вертикальную плоскость симметрии, и все внешние нагрузки лежат в этой плоскости. Введем также следующие допущения /1–3/:

• поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси балки после деформации (гипотеза плоских сечений);

• продольные волокна испытывают деформацию растяжения-сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении;

• касательные напряжения по ширине поперечного сечения распределены равномерно.

В этом случае балка испытывает плоский поперечный изгиб. Ось x прямоугольной декартовой системы координат направим горизонтально вправо по оси балки, ось y – вертикально вниз, ось z – по главной центральной (горизонтальной) оси инерции поперечного сечения.

В настоящих методических указаниях рассматривается построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов , подбор сечений балок из стали и древесины, расчет прочности стальной балки в заданном сечении.

1. Задание

Студенту выдается бланк, содержащий:

• расчетную схему балки с линейными размерами;

• нормативные нагрузки и коэффициент надежности по нагрузке;

• нормативное сопротивление, коэффициент надежности по материалу и модуль упругости для стали и древесины.

Требуется:

• построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M;

• выполнить поверочный расчет Q и M на ПЭВМ (по желанию студента);

• по полученным данным определить максимальный по модулю изгибающий момент и подобрать сечения стальной двутавровой и деревянной круглого сечения балок;

• выполнить расчет прочности стальной балки в поперечном сечении, указанном в задании на расчетной схеме.

2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

2.1. Задание

Выписать все заданные величины. Вычислить расчетные нагрузки. Начертить с указанием масштаба расчетную схему балки с действующими на нее расчетными нагрузками.

2.2. Нахождение опорных реакций

Записать необходимые уравнения равновесия. Из них найти значения опорных реакций. Выполнить проверку.

2.3. Построение эпюр Q и M

Поперечная сила Q и изгибающий момент M в данном поперечном сечении балки являются соответственно главным вектором и главным моментом относительно центра тяжести сечения внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении. Поперечная сила численно равна сумме проекций на нормаль к оси балки (на ось y) этих сил, а изгибающий момент – сумме моментов тех же сил относительно центра тяжести сечения (рис. 1,а). Для левой отделенной части балки (рис. 1,б) считаются положительными: поперечная сила, если направлена вниз; изгибающий момент, если стремится вращать рассматриваемую часть против хода часовой стрелки. Для правой отделенной части балки (рис. 1,в) правила знаков для Q и M – противоположные.

Можно пользоваться также следующим правилом: поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть прилегающий к рассматриваемому сечению участок балки по часовой стрелке (рис 1,б,в); изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки (рис. 1,г).

Построение эпюр выполняется по участкам загружения, в пределах которых не появляются новые сосредоточенные нагрузки и не заканчиваются и не претерпевают изменение действующие распределенные нагрузки, вследствие чего аналитические выражения для функций Q(x) и M(x) не меняются. Эпюры вычерчиваются с указанием масштаба под расчетной схемой балки. Положительные значения поперечной силы откладываются от базовой линии вверх, изгибающего момента – вниз. На эпюре Q проставляется знак плюс на участках, расположенных выше базовой линии, и знак минус на участках ниже базовой линии; на эпюре M – наоборот. При линейных функциях M(x) и Q(x) вычисляются их значения на концах участков загружения, для нелинейных выражений M(x) и Q(x) – на концах и в середине участков загружения. Кроме того, находятся сечения, в которых поперечная сила обращается в нуль, и приводятся значения M в этих сечениях.

а)

б) в)

г)

Рис. 1. Правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента

2.4. Поверочный расчет q и m на пэвм

По желанию студент может в вычислительном центре ВГАСУ произвести поверочный расчет поперечных сил и изгибающих моментов на ПЭВМ по программе "БАЛКА" и представить протокол расчета.

2.5. Подбор поперечного сечения балки

2.5.1. Стальная двутавровая балка

Номер двутавра находят, исходя из условия . Здесь – максимальное по абсолютной величине значение изгибающего момента, – требуемый момент сопротивления изгибу, R – расчетное сопротивление, – статический момент половины сечения. Из таблиц сортамента прокатной стали по ГОСТ 8239-89 /1–4/ выбирают двутавр с наименьшим значением , удовлетворяющим приведенному неравенству, и выписывают размеры h, b, s, t, момент инерции , статический момент .

2.5.2. Деревянная балка круглого сечения

Количество n расположенных рядом балок находят из условия . Отсюда получим , где [r] = 0.15 м – наибольший допускаемый радиус сечения одной балки. Беря в качестве n наименьшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, находим требуемый радиус балки по формуле . Окончательно принимаем за r ближайшее число, большее и кратное 0.005 м.

2.6. Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки

Расчет прочности /5/ выполняют в сечении, указанном в задании на расчетной схеме балки. В рассматриваемом сечении находят величины Q и M. В масштабе 1:2, а при высоте балки h36 см в масштабе 1:3 или 1:4, вычерчивают идеализированный двутавр, представляющий собой совокупность прямоугольных элементов – полок шириной b и толщиной t и стенки высотой (h–2t) и толщиной s.

2.6.1. Вычисление напряжений

В точках 1,3,4,5,7, взятых через одну четверть высоты балки, и в местах сопряжения стенки с полками (точки 2,6) вычисляют нормальные и касательные напряжения по формулам

, (1)

где y – ордината рассматриваемой точки; – ширина сечения; – статический момент отсеченной части сечения (для точек 1,7: , для точек 26: и b = s).

Эпюры  и  строят в масштабе справа от идеализированного двутавра с указанием значений в рассмотренных выше точках. Эпюру  строят только в пределах стенки. На эпюрах проставляют знаки нормальных напряжений и указывают направление касательных напряжений (положительных – вниз, отрицательных – вверх).

2.6.2. Нахождение главных напряжений и положения главных сечений

В характерных точках 17 находят значения главных напряжений по формулам для плоского напряженного состояния

(2)

Положение сечения, в котором действует главное напряжение , задается углом между положительным направлением оси x и внешней нормалью к сечению

. (3)

По полученным данным справа от эпюр на уровне точек 17 изображают квадратные элементы со сторонами, параллельными координатным осям, с действующими по их граням напряжениями  и , а также элементы со сторонами, параллельными главным сечениям, с действующими на них главными напряжениями и . При этом положительным значениям соответствует угол, отложенный от положительного направления оси x по ходу часовой стрелки.